ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ, ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ И СВОЙСТВА ГРУПП

Date: 2015-10-07; view: 374.

35-36.

Определение1. Пусть Г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:

1) На множестве Г задана операция °.

2) Операция ° ассоциативна.

3) Существует нейтральный элемент nÎГ.

4) Для любого элемента из Г симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит также Г.

Пример.

Множество Z – чисел с операцией +.

Определение 2.

Группа называется абелевой, если она коммутативна относительно заданной операции °.

Важные примеры групп

1) GL(n,P) — полная линейная группа над полем P степени n. Рассмотрим множество матриц порядка n над некоторым полем P, определитель которых отличен от нуля: GL(n,P)={A Î P_n , |A|¹0}. Проверим, что это группа:

1. Операция ° задана, ибо произведение невырожденных матриц — невырожденная матрица;

2. Операция ° ассоциативна, ибо произведение матриц ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица;

4. Обратная матрица существует и принадлежит GL(n,P), а это и есть симметричный элемент.

2) SL(n,P)={AÎP_n , |A|=1} — специальная линейная группа степени n над полем. Это множество матриц над полем P порядка n, с определителем равным 1.

1. Операция ° задана, ибо |AB| = |A||B|=1;

2. Операция ° ассоциативна;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица, ибо |E|=1;

4. Существует элемент симметричный — обратная матрица, так как определитель не равен нулю, и она принадлежит SL(n,P).

3) S(X) — симметричная группа на множестве X, где X — не пустое множество, S(X) — множество биективных отображений из X в X. Тождественное отображение принадлежит , следовательно, S(X) ¹Æ

1. Операция ° задана, ибо произведение биективных отображений — биективное отображение;

2. Операция ° ассоциативна, ибо произведение отображений ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент e_x (тождественное отображение на X);

4. Существует обратное отображение, для любого биективного отображения и оно принадлежит S(X).

Если X — конечное множество и состоит из n элементов |C|=n, то в этом случае S(X) обозначается S_n , так как природа элементов не существенна, то полагаем Х={1,…,n}.

4) Рассмотрим множество четных подстановок A_n на множестве из n элементов. A_n ¹Æ, ибо тождественное отображение принадлежит A_n.

1. Операция ° задана (произведение четных подстановок— четная подстановка);

2. Операция ° – ассоциативна;

3. Тождественная подстановка играет роль единицы;

4. Для любой подстановки из A_n существует обратная подстановка (она тоже четная).

A_n — знакопеременная группа степени n.

Простейшие свойства групп

В группе существует единственный нейтральный элемент

В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент

Пусть Г — группа с операцией °, тогда уравнения вида :

a°x=b и x°a=b (1) — разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а'. Так как операция ° — ассоциативна, то очевидно x=b°a' — единственное решение.