БИНАРНАЯ АГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ. НЕЙТРАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ. АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ. СИММЕТРИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ.

Date: 2015-10-07; view: 515.

32-34.

Пусть Х не пустое множество, X² — скалярный квадрат множества X, т.е. X²={(a,b)| a,bÎX}.

Определение 1. Отображение f:X²®X называется бинарной алгебраической операцией (БАО), то есть каждой паре элементов (a,b) множества X ставится в соответствие элемент сÎX.

Элемент c называется композицией элементов a и b, обычно записывают c=a°b (где ° — обозначение кокой-то бинарной алгебраической операции).

Примеры:

1) Вкачестве множества X возьмем N — натуральные числа, в качестве операции +:

(a,b)®a+b — отображение и

c=a+b — сумма.

2) Множество матриц над полем P с операциями +, *.

Если X — конечное множество, например X={x₁, x₂, ¼ ,x_n}, то алгебраическую операцию удобно задавать таблицей:

В клетке этой таблицы, расположенной на пересечении строки, проходящей через элемент ak, и столбца, проходящего через элемент al, следует записать композицию элементов ak и al.

Часто алгебраическую операцию называют внутренним законом композиции.

Определение 2. Пусть заданы множество X с бинарной алгебраической операцией °, и любое его непустое подмножество X₁. Если "a,b'X₁ a°b тоже принадлежит X₁ ,то множество X₁ называют устойчивым относительно данной бинарной алгебраической операции, а саму бинарную алгебраическую операцию на X₁ называют индуцированной.

Определение 3. Пусть на множестве Х задана бинарная алгебраическая операция ° (дальше для краткости просто операция °). Элемент hÎХ называется нейтральным относительно операции °, если x°h=h°x=x "xÎX.

Примеры.

1) В операции умножения на множестве целых чисел Z роль нейтрального элемента играет 1.

2) На множестве 2Z нет нейтрального элемента относительно умнажения.

Теорема 1.Относительно любой алгебраической операции существует не более одного нейтрального элемента.

Доказательство (от противного). Пусть m и n нейтральные элементы относительно операции ° на X, причем m¹n. Тогда по определению нейтрального элемента:

Þ m=n.

Определение 4. Алгебраическая оперция °, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если "a,b,cÎX выполняется: (a°b) °c=a°(b°c).

Теорема 2. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция °, тогда:

(a₁°…°a_i) °(a_i+1°…°a_n )= a₁°…°a_n

Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):

1) Если n – i=1, то равенство верно по определению.

2) Если n - i=k, то будем считать утверждение верным.

3) Докажем верность для n - i=k+1.

(a₁°…°a_i)°(a_i+1°…°a_n )= (a₁°…°a_i)°((a_i+1°…°a_n-1 ) °a_n ) так как операция ° ассоциативна, то по-другому расставим скобки и воспользуемся индуктивным предположением

(a₁°…°a_i)°((a_i+1°…°a_n-1 )°a_n )= =((a₁°…°a_i)°(a_i+1°…°a_n-1 )) °a_n = a₁°…°a_n .

Следствие. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция °. Тогда композиция конечного числа элементов множества Х не зависит от распределения скобок, указывающих на порядок производимых действий.

Определение 5. Пусть на множестве Х задана операция °, n – нейтральный элемент и x,y —некоторые элементы из множества Х. Элемент y называется симметричным элементу x относительно операции °, если x°y=y°x=n. Если для элемента x есть симметричный, то он называется симметризуемым.

Примеры:

1) На множестве целых чисел, операция +, n=0, симметричный элемент элементу a — противоположный -a.

2) Множество матриц над полем P_n, E — единичная матрица (нейтральный элемент при умножении). Симметричный элемент существует тогда, когда матрица обратима, т.е ее определитель не равен нулю.

Теорема 3. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция ° и n — нейтральный элемент. Тогда "xÎX существует не более одного симетричного элемента.

Докозательство (от противного).

Пусть для некоторого элемента x существует несколько симметричных элементов, например: y,z. Тогда рассмотрим композицию: y°x°z=y°(x°z)=y°n=y, с другой стороны y°x°z=(y°x)°z)=n°z=z Þ y=z.

Симметричный для x обозначим через x'.

Теорема 4.Пусть на множестве X задана ассоциативная операция °. Элементы x,yÎX — симметризуемы, тогда элемент x°y также симметризуем и симметричный для него (x°y)'= y'° x'.

Доказательство. Рассмотрим композицию: (x°y)°( y'° x')=x°(y°y') °x'=x°x'=n, где n – нейтральный элемент. Аналогично (y'°x') ° (x°y)=n.

Определение 6.Операция ° называется коммутативной, если x°y=y°x "x,yÎX.