Метод Гаусса.
Date: 2015-10-07; view: 467.
Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
Методы расчёта переходных процессов, применяемые при анализе электрических машин.
Пусть есть система линейных алгебраических уравнений вида :
a11x1 + a12x2 + ¼ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ¼ + a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
an1x1 + an2x2 + ¼ + annxn = bn
Решением системы уравнений является совокупность значений a1, a2, …an, которая при подстановке обращает все уравнения в верные равенства.
Суть метода заключается в том, что система уравнений посредством последовательных линейных преобразований приводится к треугольному виду.
Пример :
x + x2 + 2·x4 + 3·x5 = 5
2·x1 + 4·x2 – x3 + 5·x4 + 4·x5 = –1
x1 + 3·x2 + 5·x4 + 2·x5 = –3
3·x1 + 7·x2 – 3·x3 + 9·x4 + 2·x5 = –14
2·x1 + 8·x2 – 4·x3 + 2·x4 + 7·x5 = –10
Используем расширенную матрицу (добавлена правая часть ), опускают x. Умножаем первую строчку на коэффициенты и складываем с остальными строками, чтобы получились ноли в первом столбце.
      1
| ||||||||||||||
| -1 | -1 | -1 | -2 | -11 | ||||||||||
 1
| -3 | -1 | -8 | |||||||||||
| -3 | -14 | -3 | -7 | -29 | ||||||||||
| -4 | -10 | -4 | -2 | -20 |
Аналогично повторяются преобразования до полного исключения элементов расположенных ниже главной диагонали. Получаем конечный вид ступенчатой системы уравнений :
 1
| x5 = | ||||||||
| -1 | -2 | -11 | x4 = | ||||||
| x3 = | |||||||||
| -2 | -4 | x2 = | -3 | ||||||
| x1 = |
Если в первой строке первый элемент нулевой, то строки нужно переставлять.
Система может быть такова, что после триангуляции получим все нули (система вырожденна), в этой ситуации какой бы ни было x, решение правильно (бесконечное множество взаимосвязанных решений).
А может быть и так, что в последней строке все нули, кроме последнего, следовательно система несовместна и не имеет решения. Такие ситуации возникают, когда система уравнений изначально была линейно зависимой (дважды использовалось одно условие или не учтена какая либо связь параметров).
Этот метод хорош тем, что он хорошо алгоритмизируется.
Недостаток: значительный объём иррациональных преобразований приводит к накоплению ошибки, что существенно проявляется при высоком порядке решаемой системы уравнений.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Уравнения обобщённой электрической машины в различных системах координат. | | | Правило Крамера |