Ошибка выборки

Date: 2015-10-07; view: 401.

После отбора единиц проводится расчет обобщающих выборочных характеристик: выборочной средней ( ) и выборочной доли (W) единиц, обладающих каким-либо интересующим нас признаком, в общей доли их численности.

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на:

Ø Ошибки регистрации, которые возникают из-за неправильных или неточных сведений. Среди ошибок регистрации выделяют систематические (обусловленные причинами, действующими в одном направлении и искажающими результаты работы) и случайные (проявляющиеся в различных направлениях, уравновешивающие друг друга и лишь изредка дающие заметный суммарный эффект).

Ø Ошибки репрезентативности также бывают случайные (означают, что, несмотря на принцип случайности отбора единиц, все же имеются расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности) и систематическими (возникающие из-за неправильного отбора единиц, при котором нарушается принцип случайности).

Рассмотрим на примере, насколько отличаются выборочные и генеральные показатели по данным об успеваемости студентов (две 10%-е выборки):

Средний балл рассчитаем как среднюю арифметическую взвешенную.

по генеральной совокупности:

;

для первой выборки: ;

для второй: .

Доля студентов, получивших оценки «4» и «5»:

по генеральной совокупности:

;

по первой выборке: ;

по второй выборке: .

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности и будет случайной ошибкой репрезентативности.

Ошибки репрезентативности:

;

;

;

.

Как видно из расчетов, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Средняя ошибка выборки определяется по формулам таблицы 4.

Таблица 4

Метод отбора	Средние ошибки выборки
Для средней	Для доли
Повторный
Бесповторный

Условные обозначения:

N –объем генеральной совокупности;

n- объем выборки;

- дисперсия выборочной совокупности;

W – выборочная доля.

Величину называют предельной ошибкой выборки. Обозначив предельную ошибку выборки , получим: , т.е. предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Аналогично определяется предельная ошибка доли: .величина нормированного отклонения. Значения t даются в таблицах нормального распределения вероятностей. Чаще всего используются следующие сочетания:

Так, если t=1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки.

После исчисления предельных ошибок выборки находят доверительные интервалы для генеральных показателей. Для это , для P это .

Выборки, содержащие менее 30 единиц, называются малыми. При изучении таких выборок методы оценки результатов выборочного наблюдения видоизменяются в сравнении с применяемыми в теории больших выборок. Для оценки возможных пределов ошибки в этом случае используется метод Стьюдента. Он заключается в следующем:

Ø определяется выборочная средняя ;

Ø определяется выборочная дисперсия ;

Ø рассчитывается средняя квадратическая ошибка выборки

;

Ø с требуемой вероятностью P, зная число степеней свободы k=n-1, определяют величину отношения Стьюдента t по таблице. Краткая выдержка из таблицы выглядит следующим образом:

P K	0,95	0,99	0,997
	2,446	4,604	6,435
	2,262	3,250	4,024
	2,145	2,977	3,583
	2,086	2,845	3,376
	2,064	2,797	3,302

Ø полученную величину соотношения t умножают на среднюю квадратическую ошибку выборки , в результате чего получают ошибку выборочной средней .

Ø результат представляется в виде .

Рассмотрим этот алгоритм нахождения на примере ряда 10,2; 7,6; 6,1; 8,4; 6,0; 5,7; 13,7; 6,9; 5,2; 6,1; 5,0; 3,7; 4,7; 3,6; 3,2.

Выборочная средняя составляет 6,41 ( );

выборочная дисперсия равна: 7,061 .

Следовательно, средняя квадратическая ошибка выборки:

.

Оценим с вероятностью 0,99 предел возможных расхождений выборочной средней и генеральной средней. Так как число степеней свободы равно 14 (k=n-1=15-1=14), то по таблице, приведенной выше, находим, что значение t, соответствующее вероятности 0,99, равно 2,977.

Тогда с вероятностью 0,99 можно предполагать, что ошибка выборочной средней не больше 2,114 (2,977*0,71). Результат выглядит как: