Скалярное произведение векторов

Date: 2015-10-07; view: 446.

Пример 1. Даны точки , , . Найти .

Решение. Определим координаты векторов, входящих в искомое скалярное произведение.

,

,

,

,

,

.

А теперь по формуле (3.23) найдем

.

Пример 2. Найти , если , , .

Решение. Для нахождения скалярного произведения воспользуемся его свойствами. По распределительному закону

.

Упростим равенство с учетом , .

.

Пример 3. Найти угол между векторами и , если и .

Решение. Обозначим вектором .

Найдем длины векторов Определим скалярное произведение по формуле (3.23)

.

Теперь по формуле (3.24)

,

.

Пример 4. Даны векторы , , . Найти .

Решение. Используя формулу (3.26), запишем . Поскольку векторы заданы своими координатами, найдем по формуле (3.12) сумму векторов

Определим величину скалярного произведения по формуле (3.23)

. Подставляем в формулу проекции, имеем

.

Пример 5. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если .

Решение. Обозначим неизвестные координаты вектора . Воспользуемся условием перпендикулярности векторов (3.22).

, откуда ;

, значит .

С учетом , т.е. , получим систему

Условию задачи удовлетворяют два вектора и .

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если и угол между векторами и равен .

2. Даны векторы и . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Дано . Найти .

4. Упростить выражение: .

5. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?

6. Найти косинус острого угла между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины .

7. Даны векторы и . Найти угол, образуемый вектором с осью .

8. В плоскости находятся два вектора и . Даны модули этих векторов и угол между ними . Найти модуль вектора .

9. Найти угол, образованный единичными векторами и , если известно, что векторы и перпендикулярны.

10. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .