Решение.

Date: 2015-10-07; view: 582.

Векторное произведение векторов

Ответы

1. 2. а) б) в) г)

3. 4. 5.

6. 7.

8. 9. 10.

Пример 1. Даны два вектора и , для которых , , . Вычислить а) ; б) .

а) По формуле (3.28) длина вектора векторного произведения: .

б) По свойствам векторного произведения найдем

.

Пример 2. Заданы векторы и . Найти координаты векторов а) ; б) .

Решение. а) Используем формулу (3.31) вычисления координат вектора векторного произведения векторов и

б) Сначала определим координаты векторов

Снова используем (3.31)

Пример 3. Определить единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов , , образующий острый угол с осью .

Решение. Найдем координаты вектора

. По определению векторного произведения векторов перпендикулярен и , и . Значит . Найдем орт вектора :

Тогда . Выбираем знак +, т.к. в этом случае третья координата вектора положительна, значит, вектор образует острый угол с осью . Значит .

Пример 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Согласно формуле (3.32) . Учитывая координатный способ задания векторов, найдем сначала координаты вектора

.

А теперь его модуль

. .

Пример 5.В треугольнике с вершинами , , найти длину высоту, опущенной из вершины на сторону .

Решение. Обозначим длину высоты из вершины , тогда .

С другой стороны , где , . Определим , .

Итак, . Откуда .

Пример 8. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и .

Решение. По условию и , следовательно . Найдем

.

По условию коллинеарности векторов . Найдем из условия .

, , ,

. Если , то . Проекция на ось OY равна , этот вектор образует с острый угол. При образует тупой угол с вектором , что удовлетворяет условию.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти , если , и .

2. Упростить выражение .

3. Векторы и образуют угол . Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если .

4. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где - единичные векторы и .

5. Найти площадь параллелограмма, три последовательные вершины которого находятся в точках .

6. Дан треугольник с вершинами . Найти длину высоты, опущенной из вершины на сторону .

7. Найти синус угла между векторами и .

8. Дано . Найти .

9. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию .

10. Найти координаты вектора , перпендикулярного оси и вектору , если .