Смешанное произведение векторов

Date: 2015-10-07; view: 477.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. .

Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Найдем смешанное произведение векторов . Согласно формуле (3.35) имеем:

.

Найдем объем параллелепипеда по формуле (3.36)

.

Пример 2. Проверить, компланарны ли векторы , и .

Решение. Воспользуемся свойством 4 смешанного произведения. Найдем трех векторов с координатами .

Значит векторы компланарны.

Пример 3. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что три вектора и компланарны. Найдем координаты векторов

Проверим условие компланарности векторов

Значит, векторы компланарны, а точки лежат в одной плоскости.

Пример 4 . Дана пирамида с вершинами .

Вычислить длину высоты, опущенной из вершины .

Решение. Используем известную формулу , откуда . Для нахождения и воспользуемся свойствами векторного и смешанного произведения векторов

, .

Вычислим координаты векторов и их произведения:

.

Высота пирамиды:

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить смешанное произведение векторов .

2. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) , , ;

б) .

3. Вычислить объем треугольной пирамиды , если .

4. Вектор перпендикулярен и , , . Найти .

5. Показать, что точки и лежат в одной плоскости.

6. Найти , если .

7. Дан параллелепипед , построенный на векторах и .

Найти:

а) объем параллелепипеда;

б) площадь грани ;

в) длину высоты, проведенной из ;

г) угол между ребром и диагональю .