Розв'язання

Date: 2015-10-07; view: 487.

1 Оцінювання невідомих математичних сподівань і дисперсій

Точечною оцінкою математичного сподівання а генеральної сукупності є вибіркове середнє. Вибіркові середні і обчислюються за формулами:

. (1.1)

Часто зручно користуватися формулами

.

У даному випадку маємо

Незсуненою оцінкою дисперсії σ² генеральної сукупності є виправлена вибіркова дисперсія s². Значення й будемо обчислювати за формулами:

(1.2)

Оскільки при зменшенні всіх даних вибірки на одне й те саме число значення дисперсії не змінюється, то зменшуючи дані першої вибірки на 38, а другої вибірки на 40, знаходимо

Вибіркове середнє квадратичне відхилення дорівнює квадратному кореню з відповідної вибіркової дисперсії. Тому

Для знаходження довірчого інтервалу математичного сподівання а генеральної сукупності необхідно представити а у вигляді

(1.3)

де – Точечна оцінка а (середнє вибірки), δ – точність оцінки. Якщо вибірка малого об'єму n, то точність оцінки δ визначається формулою

. (1.4)

Тут s-вибіркове середнє квадратичне відхилення, – квантиль розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислений при рівні значущості = 1–γ і k = n–1 ступенях волі.

Для старого режиму роботи А маємо

Для нового режиму роботи В

(не 0.96, а 1.0169)

Отже, з надійністю γ = 0,95

,

тобто довірчі інтервали для невідомих математичних сподівань мають вигляд

.

Це означає, що з надійністю 95% при старому режимі обробки деталей робітник міг виготовляти 40 або 41 деталей за зміну. При новому режимі обробки деталей з надійністю 95% він може виготовляти вже 42 або 43 деталей за зміну. Бачимо, що відбулася кількісні зміни в продуктивності праці.

Знайдемо тепер довірчі інтервали для генеральних дисперсій й . Для дисперсії , генеральної сукупності, довірчий інтервал має вигляд

. (1.5)

Тут n – об'єм вибірки, s² – оцінка дисперсії (виправлена вибіркова дисперсія), і – квантилі розподілу Пірсона (Додаток Б), обчислені при рівні значущості і числі ступенів волі k = n–1.

Для старого режиму роботи А

Для нового режиму роботи В

Як бачимо, довірчі інтервали для генеральних дисперсій і перетинаються. Тому, з надійністю 95%, у нас немає підстав відхилити гіпотезу про рівність дисперсій ( = ). Це означає, що вдосконалення обробки деталей не приводить до підвищення ефективності обробки.

2 Перевірка статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань і дисперсій

Ефективність виробничого процесу залежить від породжуваної їм дисперсії, що характеризує розкид у даних. Таким чином, для визначення ефективності нового режиму роботи, пов'язаного з удосконаленням обробки деталей, необхідно порівняти генеральні дисперсії й по даним вибірок продуктивності праці.

При порівнянні двох дисперсій і висувають нульову гіпотезу Н₀: = , при конкуруючої Н₁: ≠ . Якщо, за змістом завдання, більшій вибіркової дисперсії ( ) свідомо не може відповідати менша генеральна дисперсія, тобто нерівність < свідомо неможлива, то конкуруюча гіпотеза приймає вигляд Н₁: > . У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використовується односторонній критерій Фішера

. (1.6)

Тут F_кр – критичне значення розподілу Фішера (Додаток В), обчислене при рівні значущості і числі ступенів волі k₁ = n_x–1 і k₂ = n_y–1. Якщо зазначена нерівність виконується, ми схиляємося на корист ь гіпотези Н₁: > , у противному випадку, у нас немає підстави відхилити нульову гіпотезу
Н₀: = .

У даному випадку .
З Додатку В при = 0,05, k₁ = 9 й k₂ = 8 знаходимо F_кр = 3,39. Так як 2,630 < 3,39, то ми не можемо відхилити нульову гіпотезу і вважаємо рівними генеральні дисперсії і . Це означає, що вдосконалення обробки деталей, у цьому випадку, не є ефективним.

При порівнянні двох математичних сподівань a_x і a_у висувають нульову гіпотезу Н₀: a_x = a_у, при конкуруючій гіпотезі Н₁: a_x ≠ a_у. Методика перевірки альтернативної гіпотези Н₁ залежить від співвідношення генеральних дисперсій і .

Раніше при порівнянні двох дисперсій і нами було встановлено, що = = . У цьому випадку оцінкою дисперсії σ² є середньозважена вибіркова дисперсія

.

Якщо заздалегідь відомо, що більшому вибірковому середньому ( ), не може відповідати менше математичне сподівання (a_у ≥ a_x), то альтернативна гіпотеза приймає вигляд Н₁: a_у > a_x. У цьому випадку для перевірки альтернативної гіпотези Н₁ використається односторонній критерій Стьюдента

. (1.7)

Тут t_кр – критичне значення розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислене при рівні значущості і числі ступенів волі
k = n_x+n_y–2. Якщо зазначена нерівність виконується, то гіпотеза Н₁ : a_у > a_x вірна, у противному випадку ми визнаємо правильність нульової гіпотези Н₀ : a_x = a_у.

У цьому випадку =42,33–40,60=1,73. З Додатку А при = 0,05 й k = 17 знаходимо t_кр = 2,11, тоді

.

Так як 1,60 < 1,73, то ми схиляємося на користь альтернативної гіпотези Н₁ : a_у > a_x. Отже, розбіжність між вибірковими середніми й невипадкова, при 5% рівні значущості воно є істотним і приводить до значимого підвищення продуктивності праці після вдосконалення обробки деталей.

Відзначимо, що якщо при порівнянні двох дисперсій і було встановлено, що > ( ), то для перевірки гіпотези Н₁: a_у > a_x варто використати односторонній критерій Стьюдента вигляду

, (1.8)

де , , t₁ й t₂ – квантилі розподілу Стьюдента (Додаток А), обчислені при рівні значущості і числах ступенів волі k₁ = n_x–1 й k₂ = n_y–1 відповідно.

3 Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності у випадку вибірки малого обсягу

В основі критеріїв згоди, за допомогою яких перевіряється гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності лежить порівняння асиметрії і ексцесу нормального закону з їхніми оцінками, отриманими за даними вибірки.

Відомо, що у випадку нормального розподілу генеральної сукупності Х асиметрія і ексцес дорівнюють нулю, а відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії й ексцесу рівні

(1.9)

де μ_k – центральний момент вибірки порядку k, що обчислюється за формулою

(1.10)

При невеликому об'ємі вибірки Фішер рекомендує в якості оцінок асиметрії А і ексцесу Е розглядати величини

(1.11)

Очевидно, при невеликих значеннях n оцінки й будуть помітно відрізнятися від вибіркових А_в й Ев. Виявляється, що у випадку нормального розподілу оцінки й мають із великим ступенем точності нормальні вибіркові розподіли, причому їх математичні сподівання дорівнюють нулю, а дисперсії визначаються виразами

(1.12)

Таким чином, завдання полягає у відповіді на питання: чи значимо оцінки і відрізняються від своїх математичних сподівань, тобто від нуля?

Фішер пропонує користуватися наступним наближеним критерієм згоди:

. (1.13)

Для обчислення оцінок і асиметрії А и ексцесу Е скористаємося даними двох вибірок об'ємів n_x = 10 і n_y = 9. Допоміжні обчислення вибіркових центральних моментів наведені в табл. 1.2 і табл. 1.3.

Таблиця 1.2 Обчислення центральних моментів першої вибірки

xi
	1,4	1,96	2,744	3,8416
	2,4	5,76	13,824	33,1776
	– 2,6	6,76	– 17,576	45,6976
	– 0,6	0,36	– 0,216	0,1296
	2,4	5,76	13,824	33,1776
	– 2,6	6,76	– 17,576	45,6976
	– 0,6	0,36	– 0,216	0,1296
	0,4	0,16	0,064	0,0256
	– 1,6	2,56	– 4,096	6,5536
	1,4	1,96	2,744	3,8416
Σ		32,4	– 6,48	172,272
Середні	μ1 = 0	μ2 = 3,24	μ3 = –0,648	μ4 =17,227

Таблиця 1.3 Обчислення центральних моментів другої вибірки

yj
	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
	0,667	0,444	0,296	0,198
	1,667	2,778	4,630	7,716
	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
	1,667	2,778	4,630	7,716
	0,667	0,444	0,296	0,198
	– 2,333	5,444	– 12,704	29,642
	– 0,333	0,111	– 0,037	0,012
	– 1,333	1,778	– 2,370	3,160
Σ		14,000	– 5,333	48,667
Середні	μ1 = 0	μ2 = 1,556	μ3 = –0,593	= 5,407

Використовуючи дані табл. 1.2, для першої вибірки одержуємо

Бачимо, що критерій згоди (1.13) виконується.

Аналогічно за даними табл. 1.3 для другої вибірки знаходимо

Тут також критерій згоди (1.13) виконується.

Таким чином, дані вибірки погоджуються з нормальним розподілом генеральних сукупностей. Отже, проведені раніше процедури оцінювання математичних сподівань і дисперсій, а також перевірки статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань і дисперсій двох генеральних сукупностей виправдані.