КОНТРОЛИРУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (КСР)

Date: 2015-10-07; view: 536.

Графік

1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю в точці . У випадку, якщо , графік квадратичної функції перетинає вісь в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці ; якщо , перетину з віссю немає.

2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої - образу осі ординат при паралельному перенесенні .

3. Графік функції (або ) може бути отриманий з графіка функції наступними перетвореннями :

1. паралельним перенесенням ;

2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;

3. паралельним перенесенням .

13) Якщо відомий графік функції , то за допомогою геометрич-них перетворень можна побудувати графіки більш складних функцій.

14) Функцію , де x — змінна, а p — стале дійсне число, називають степеневою функцією.
Властивості степеневої функції залежать від значення p.
1. p Є N. Тоді ; ;
Якщо p — непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p — парне, для всіх значень x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо , функція зростає.
2. p Є Z; . Тоді .
Графік складається з двох віток; .
Якщо p — непарне, то для всіх значень знак функції збігається зі знаком аргументу.
Функція непарна, спадна на кожному з проміжків і .
Якщо p — парне, для всіх x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо , функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:

15) Графік функції у = sin x

Функція у = sin х, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 <х <π / 2.

Властивості; 1 ) Функція у = sin х визначена для всіх значень х , так що областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел. 2 ) Функція у = sin х обмежена . Всі значення , які вона приймає , укладені в інтервалі від -1 до +1 , включаючи ці два числа. Отже , область зміни цієї функції визначається нерівністю -1 <у < 1 . При х = π / 2 + 2kπ функція приймає найбільші значення , рівні 1 , а при х = - π / 2 + 2kπ - найменші значення, рівні - 1 . 3 ) Функція у = sin х є непарною ( синусоїда симетрична щодо початку координат). 4 ) Функція у = sin х періодична з періодом 2π . 5 ) В інтервалах 2nπ < x < π + 2nπ ( n - будь-яке ціле число) вона позитивна , а в інтервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ ( k - будь-яке ціле число) вона негативна . При х = kπ функція звертається в нуль. Тому ці значення аргументу х ( 0 ; ± π ; ± 2π ; ... ) називаються нулями функції у = sin x 6 ) В інтервалах - π / 2 + 2nπ < х < π / 2 + 2nπ функція у = sin x монотонно зростає , а в інтервалах π / 2 + 2kπ < х < 3π / 2 + 2kπ вона монотонно убуває.

Функція у = sin х періодична з періодом 2π;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво і вправо періодично з періодом 2π.

Отримана в результаті цього крива називається синусоїдою. Вона і являє собою графік функції у = sin х.

Формули:

16)

17) Функція y = tg x періодична з періодом π. Тому тепер для побудови її графіка потрібно продовжити періодично криву, представлену на малюнку, вліво і вправо з періодом π. У результаті виходить крива, яка називається тангенсоідой.

Властивості:

1 ) Функція у = tg x визначена для всіх , значний х , крім х = π / 2 + nπ , де n - будь-яке ціле число. Таким чином , областю її визначення служить сукупність всіх дійсних чисел, крім х = π / 2 + nπ .2 ) Функція у = tg x не обмежена . Вона може приймати як будь-які позитивні , так і будь-які негативні значення . Отже , областю її зміни є сукупність всіх дійсних чисел. Серед цих чисел не можна вказати ні найбільшого , ні найменшого .3 ) Функція у = tg x непарна ( тангенсоіда симетрична щодо початку координат).4 ) Функція у = tg x періодична з періодом π .

Для побудови графіка функції у = ctg x слід скористатися тотожністю: ctg x = — tg (x + ^π/₂)

Воно вказує на наступний порядок побудови графіка:

1) тангенсоіду у = tg x потрібно зрушити вліво по осі абсцис на відстань π / 2;

2) отриману криву відобразити симетрично щодо осі абсцис.

У результаті такої побудови виходить крива, представлена на малюнку. Цю криву іноді називають котангенсоідой.

18) Функція виду y=a^x,де a більше нуля і а не дорівнює одиниці називається показовою функцією.Основні властивості показовою функції:

1.Областю визначення показовою функції буде безліч дійсних чисел.

2.Область значень показовою функції буде безліч всіх позитивних дійсних чисел.Іноді це безліч для стислості запису позначають як R +.

3.Якщо в показовій функції підставу a більше одиниці,то функція буде зростаючою на всій області визначення.Якщо в показовій функції для підстави а виконана така умова 0 < a

4.Справедливі буде всі основні властивості ступенів.Основні властивості ступенів представлені таким равенствами:

A^x*a^y=a^(x + y);

(a^x) / (a^y)=a^(x-y);

(a / b)^x=ax / bx;

(a^x)^y=a^(x*y).

5.Графік показовою функції завжди проходить через точку з координатами (0; 1)

Число е — фундаментальна математична константа, математична величина, що є основою натуральних логарифмів. Інодічисло e називають числом Ейлера або числом Непера. Відіграє важливу роль у диференціальному й інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики.Експонента (\ exp) - функція \ exp (x) = e ^ x, де e - основа натуральних логарифмів.

19) Логарифмічна функція ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою .