Свойства векторного произведения

Date: 2015-10-07; view: 513.

1. .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

.

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :

.

.

Следствие. .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => . Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение . Так как , , то значит , т.е. или , а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Замечание. Заметим, что если два вектора и коллинеарны, то существует такое число , при котором , т.е. =>

=> .

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что . Далее очевидно, что

, , , , , .

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы

и

.

4. Механический смысл векторного произведения

Если сила поворачивает тело вокруг оси , то момент силы , как известно, равен (рис. 2.6.2).

Пример 1.

1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

Решение.

1. ,

=

=

.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , следовательно .

2. В силу определения векторного произведения вектора ,

два вектора

удовлетворяют поставленной задаче (рис. 2.6.3).

 

 

§ 7. Смешанное произведение трёх векторов

Определение смешанного произведения

Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов , , называется скалярное произведение вектора и векторного произведения вектора на вектор , т.е. выражение .

Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов

Теорема.Для того чтобы ненулевые векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , и компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор окажется перпендикулярным вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Достаточность. Пусть . Так как векторы ненулевые, то может быть:

1) , тогда , следовательно, векторы , и можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) , но => . Это значит, что вектор лежит в одной плоскости с векторами b и c.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Предположим, что векторы , и некомпланарны. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах и (рис. 2.7.1).

1) Пусть , , - правая тройка. Тогда угол между векторами и острый, т.е. векторы и ( ) лежат в одном полупространстве.

		Рис. 2.7.1

 

 

Очевидно, что пр даёт нам высоту параллелепипеда, следовательно, есть не что иное, как объём параллелепипеда, построенного на векторах , , с..

2) Если , , - левая тройка, то векторы и будут лежать в разных полупространствах, а тогда , следовательно, будет равно объёму параллелепипеда, взятому со знаком минус. Итак, объём параллелепипеда или .

Вывод. Абсолютная величина смешанного произведения трёх ненулевых векторов даёт нам объём параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2. Свойства смешанного произведения

1. .

Т.е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов.

Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу геометрического смысла смешанного произведения. Знаки их также совпадают, так как ориентация тройки не меняется при циклической перестановке векторов.

2. .

Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, так как тройка меняет свою ориентацию.

3. .

Действительно, в силу первого свойства: . С другой стороны, , откуда и следует окончательно: . Поэтому иногда смешанное произведение обозначают

.

4. Если , , , то

.

Действительно,

.

§ 8. Двойное векторное произведение

Определение.Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов , и называется ; если хотя бы один из векторов , или равен нулю, то .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа часто встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.

, , .

Вычислим .

Обозначим , .

Очевидно, что нас интересует вектор . Известно, что вектор выражается через координаты векторов и так:

,

то есть

, , .

В свою очередь, аналогично

.

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для , и и, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения , , . Получим:

Итак, получили: .

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное векторное произведение . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения , которое, вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и . Очевидно также, что .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 1.Показать, что точки А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов , и .

(2,1,2), (3,-1,1), (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Действительно,

( , , ) = = 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2.Доказать, что векторы , и линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

( , , )= =0,

cледовательно, векторы , и компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы , и такие, что + + =0, т.е. ( + + )+ (3 + 4 + ) + ( +2 -3 )= , откуда следует: ( + 3 + ) + ( + 4 + 2 ) + (2 + -3 ) = , т.к. , , - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения , и :

Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим , в указанную выше линейную комбинацию: . Сократим на . Получим искомую линейную зависимость .