В силу свойства 4 получим

Date: 2015-10-07; view: 416.

.

В частности,

.

4. Угол между двумя векторами

Если и - ненулевые векторы, то, принимая во внимание определение вектора и п.4, получим такое выражение для угла между векторами a и b:

.

Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:

Механический смысл скалярного произведения

Если - сила, действующая на перемещении S, то работа A этой силы на указанном перемещении, как известно, равна , т.е. (рис. 3.5.1).

Пример 1.Даны три точки

Найти и направляющие косинусы вектора .

Решение. а) ;

б) ; ;

Пример 2. Дан вектор , , .

Найти длину вектора .

Решение. Найдём скалярный квадрат вектора : . Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:

.

Пример 3. При каком значении вектора и ортогональны.

Решение. Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов , получим . Следовательно .

§ 6. Векторное произведение и его свойства

1. Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1. , т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3. Тройка , , - правая (рис. 2.6.1)

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом .