По АЛГЕБРЕ для МИ-1 (2 семестр)

Date: 2015-10-07; view: 388.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Система линейных уравнений (СЛУ), её решение и следствие. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем.

2. Теорема Гаусса (с доказательством). Следствие из теоремы Гаусса (для СЛОУ).

3. Ранг матрицы.

4. Теорема Кронекера-Капелли, её следствие. Алгоритм решения СЛУ методом Гаусса.

5. Правило Крамера решения СЛАУ (с доказательством). Критерий существования ненулевого решения СЛОУ.

6. Базис и размерность векторного пространства. Максимально линейно независимая система векторов. Примеры.

7. Координаты вектора в базисе. Теорема единственности координатного разложения.

8. Изоморфизм векторных пространств. Пример. Свойства.

9. Матрица перехода к новому базису пространства. Связь между координатными столбцами вектора в разных базисах.

10. Линейное подпространство. Критерий. Примеры. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о базисе линейной оболочки.

11. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма.

12. Пространство решений СЛОУ. Фундаментальная система решений (с доказательством).

13. Скалярное умножение. Евклидово пространство, примеры. Простейшие свойства скалярного произведения.

14. Длина вектора, свойства. Угол между векторами. Ортогональные векторы.

15. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации (теорема с доказательством). Ортогональный базис евклидова пространства.

16. Ортонормированный базис евклидова пространства. Теорема (о скалярном произведении в ортонормированном базисе).

17. Ортогональное дополнение пространства. Изоморфизм евклидовых пространств.

18. Линейные операторы. Примеры. Простейшие свойства. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора.

19. Матрица линейного оператора в данном базисе. Связь между координатными столбцами векторов x и f(x).

20. Связь между матрицами линейного оператора относительно разных базисов. Подобные матрицы.

21. Действия над линейными операторами. Обратимые линейные операторы. Понятие линейной алгебры.

22. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен.

23. Линейные операторы с простым спектром. Условия приводимости матрицы к диагональной форме.