Метод Гаусса Решений СЛАУ

Date: 2015-10-07; view: 422.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра» для студентов 1 курса бакалавриата направлений «Экономика», «Бизнес-информатика»

1. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).

2. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).

3. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

4. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.

5. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

6. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

7. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).

8. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

9. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.

10. Теорема Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

11. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).

12. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).

13. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

14. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

15. Общая схема исследования функции и построения их графиков. Пример.

16. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.

17. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

18. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

19. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).

20. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

21. Метод интегрирования по частям для случаев неопеределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

22. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.

23. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формулу Ньютона-Лейбница.

24. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

25. Вычисление площадей плоских фигур с помощью оперделенного интеграла. Примеры.

26. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства Сходящихся рядов. Примеры.

27. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармонический ряд и его расходимость.

28. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры.

29. Признак Даламбера Сходимости знакоположительных рядов. Пример.

30. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Пример.

31. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Пример.

1)первой строкой поместить ту строку, у которой коэффициент при первой неизвестной отличен от 0

2) путем эквивалентных преобразований делаем так, чтобы во всех остальных строках коэффициент при первой неизвестной=0

3)путем преставления строк, исключая первую, нужно поставить на место второй строки ту, у которой коэффициент при второй неизвестной отличен от 0.

Если во всех строках, кроме 1 вторые элементы 0, то необходимо переставить столбцы

4)Продолжаем операции до тех пор пока, не останутся на главной диагонали a11,a22,a33… ненулевые (верхнетреугольная матрица)

5) из последнего уравнения выразить Xm и подставить выше. и т.д получить результат.

Определители:

Определителем 2 порядка -

Определителем n порядка -

Свойства определителей:

1) Если в определителе есть строка или столбец, состоящий из 0, то такой определитель=0

2)Если какую-нибудь строку или какой-нибудь столбец определителя можно представить в виде(общий множитель строки или столбца можно вынести за определитель)

док-во:

3)Если в определителе поменять 2 каких-то строки(столбца) местами, то определитель поменяет знак на противоположный. Док-во: меняем местами k и k+1 строчки.

(матрицы нарисовать!)

Общий случай: чтобы поменять местами k и j можно менять последовательно, тогда нужно поменять местами j-(k+1) раз и остальные строки вернуть на место. Знак меняется j-k+j-(k+1)=2j-2k-1 раз

4)Если в определителе есть 2 одинаковые строки(столбца), то определитель = 0. док-во. Если 2 одинаковые строки поменять местами знак должен измениться. Число=-число, значит число=0

5) Если в определителе есть 2 пропорциональные строки(столбца), то определитель = 0. док-во выносим коэффициент пропорциональности за определитель, получается определитель с одинаковыми строками, он = 0

6)

Док-во

7) определитель равен транспонированному определителю.

Док-во методом мат.индукции. пусть доказано до n-1 порядка, тогда для n

8) если к какой-нибудь строке определителя + другую строку,*на некоторое число, то полученный определитель = исходному

Миноры – определитель, полученный из определителя А путем вычеркивания i строки и j столбца

Алгебраические дополнения -