Задачи к билетам по дисциплине «Линейная алгебра»

Date: 2015-10-07; view: 304.

1.Вычислить: .

1. Вычислить: .
2. Вычислить: .
3. Вычислить: .
4. Вычислить: .
5. Вычислить: .
6. Найти и изобразить на комплексной плоскости .
7. Найти и изобразить на комплексной плоскости: .
8. Найти и изобразить на комплексной плоскости .
9. Вычислить: .
10. Вычислить: .
11. Вычислить определитель: .
12. Вычислить определитель: .
13. Доказать тождество: .
14. Доказать тождество: .
15. Найти матрицу, обратную к матрице .
16. Найти матрицу, обратную матрице .
17. Решить систему по правилу Крамера:
18. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.
19. Решить систему методом Гаусса:
20. Решить систему методом Гаусса:
21. Решить систему с помощью обратной матрицы:
22. Решить систему с помощью обратной матрицы:
23. Определить ранг матрицы .
24. Исследовать систему на совместность:
25. Исследовать систему на совместность:
26. Вектор задан своими координатами в базисе . Найдите его координаты в базисе .
27. Пусть . Доказать, что преобразование является линейным и найти его матрицу.
28. Пусть . Выяснить: является ли преобразование линейным. В случае линейности определить его матрицу.
29. Определите матрицу перехода от базиса к базису , если

.

1. Матрица линейного преобразования A= задана в базисе , найти её в базисе .
2. Матрица линейного преобразования A= задана в базисе , найти её в базисе .
3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования с матрицей: .
5. Определить размерность пространства решений линейной однородной системы:

1. Определить размерность пространства решений линейной однородной системы и указать какой-либо базис:
2. Построить общее решение однородной системы линейных уравнений:

1. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
2. Доказать, что векторы образуют базис и найти

координаты вектора в этом базисе.

1. Вычислить: если , а угол между векторами и равен .
2. Найти векторное произведение векторов и .
3. Даны векторы . Найдите вектор .
4. Найти площадь треугольника АВС, если А(1,2,0), В(3,0,-3) и С(5,2,6).
5. Выяснить: являются ли векторы компланарными.
6. Доказать, что четыре точки А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1) и Д(2,1,3) лежат в одной плоскости.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C(3,4,5), параллельно двум векторам: и .
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: A(3;1;4); В(-1;6;1) и С(-1;1;6).
9. Дана плоскость . Записать уравнение плоскости «в отрезках».
10. Для плоскости записать уравнение плоскости «в отрезках».
11. Определить, при каком значении параметра с плоскости и будут перпендикулярны.
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(2,0,3) параллельно вектору .
13. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: M₁ (1, 2,-4) и М₂ (-1,2,-4).
14. Составить каноническое уравнение прямой:
15. Определить взаимное расположение прямой и плоскости .
16. Определить взаимное расположение прямой и плоскости .
17. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
18. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1,-1,-1) перпендикулярно прямой .
20. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(4,8,6) перпендикулярно плоскости .
21. Доказать, что прямая лежит в плоскости .