Решение задания 9.

Date: 2015-10-07; view: 373.

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а, следовательно, их можно перемножить и затем сложить:

3. Ранг матрицы

Для квадратной матрицы А можно записать определитель, состоящий из тех же элементов. Обозначается

det A.

Если , то матрица называется неособенной (вырожденной). Если – вырожденная (особенная).

Пусть дана прямоугольная матрица размера . Образуем минор k^го порядка этой матрицы. Для этого возьмем k строк и k столбцов и выберем элементы, стоящие на их пересечениях. Из этих элементов составим определитель. Порядок его будет k. Это и есть минор k^го порядка матрицы А.

Например.

; ;

.

Ясно, что таких миноров можно образовать несколько.

Будем образовывать такие миноры, начиная с порядка , затем и т.д. При некотором порядке хотя бы один из миноров этого порядка не равен нулю, а при , т.е. повышении порядка на единицу, уже все миноры будут равны нулю.

Такое число r и называется рангом матрицы А.

или

.

Минор порядка r, который отличен от нуля, называется базисным минором, а строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками или столбцами.

Естественно, что таких базисных миноров может быть несколько.

Пример.

. Найти ранг этой матрицы.

Решение. Среди всех миноров 1^го порядка (отдельные элементы) есть ненулевые. Значит ранг не меньше 1.

Среди всех миноров 2^го порядка есть ненулевые. Например .

Значит ранг не меньше 2.

Переберем все миноры третьего порядка.

; ; ; .

Все миноры третьего порядка нулевые.

Ранг равен 2.

Для вычисления ранга матрицы очень часто пользуются приемом проведения ее к виду, позволяющему дать ответ о ранге исследуемой матрицы. Для этого применяют операции, не изменяющие ранг матрицы, но упрощающие ее вид.

Эти операции называются элементарными, и они вытекают из свойств определителей:

1. Транспонирование матрицы.

2. Перестановка строк (столбцов).

3. Умножение всех элементов строки (столбца) на какое-либо число.

4. Прибавление к одному столбцу (строке) другого, умноженного на отличное от нуля число.

Пример. Найти ранг матрицы.

~ ~

~ ~

.

Канонической называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят несколько единиц, а все остальные равны нулю.

Например

.

Очевидно .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Рассмотрим выполнение заданий на нахождение ранга матрицы.