Методом гаусса

Date: 2015-10-07; view: 324.

Решение систем линейных уравнений

Решение задания 9.

Решение

1. .

2. .

3. .

4. .

Ответ: .

Следующее задание выполните самостоятельно.

Задание 9

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Если при выполнении задания 9 у Вас получилось не (-2,1,0), то рассмотрите решение задания 9.

1.

2. .

3. .

4. .

Ответ: .

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Метод Гаусса основан на последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований системы уравнений.

С помощью элементарных преобразований исходная линейная система уравнений (1) может быть преобразована в линейную систему уравнений ступенчатого вида, эквивалентную данной, и все решения могут быть найдены последовательно, начиная с последнего уравнения.

В алгоритме Гаусса все преобразования производятся непосредственно над уравнениями системы. Однако этот алгоритм можно существенно упростить, если соответствующие элементарные преобразования осуществлять над строками расширенной матрицы системы.

Матрицей системы уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных

.

Расширенной матрицей системы уравнений (1) называется матрица, получаемая из матрицы системы путем добавления столбца свободных членов:

.

Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы уравнений (1) соответствует аналогичное элементарное преобразование над строками матрицы . Следовательно, в алгоритме Гаусса можно от элементарных преобразований над системой (1) перейти к соответствующим элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы системы .