Решение

Date: 2015-10-07; view: 337.

Задание 1

Решить систему уравнений методом Гаусса:

С помощью элементарных преобразований преобразуем данную систему уравнений к ступенчатому виду. Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение системы на 4 и вычтем из второго, а затем умножим на 5 и вычтем из третьего. Получим систему линейных уравнений, эквивалентную данной, в виде

Далее разделим второе уравнение системы на (-5), а третье умножим на (-1). Система примет вид

Исключим теперь х₂ из последнего уравнения, умножив второе уравнение системы на (-11) и сложив его с третьем:

Из последнего уравнения определяем х₃ = 3. Поставив найденное значение х₃ во второе уравнение, получим х₂ = 2. Зная х₂ и х₃, можно из первого уравнения системы определить х₁ = 1.

Очевидно, что операции над уравнениями системы аналогичны операциям над строками ее расширенной матрицы.

В данной системе число уравнений m = 3 и число неизвестных n = 3.

Составим матрицу системы и ее расширенную матрицу:

и .

Определим ранги этих матриц. В расширенной матрице пунктирной чертой отделим столбец свободных членов, чтобы отдельно можно было видеть и преобразование матрицы . Посредством последовательных элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы получим следующую систему эквивалентных матриц:

. (2)

Полученная в результате элементарных преобразований ступенчатая матрица имеет три ненулевые строки, а значит, ее ранг равен r=3. Следовательно, и ранг расширенной матрицы r(A′) = 3. Очевидно, что матрица системы также имеет три ненулевые строки, а значит, и ее ранг также равен r(А)=3.

Так как r(A) = r(A′) = n = 3, то в соответствии с теоремой Кронекера - Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице (2) соответствует система уравнений

которая уже была получена в результате элементарных преобразований исходной системы уравнений.

Из последнего уравнения определяем х₃ = 3. Поставив найденное значение х₃ во второе уравнение, получим х₂ = 2. Зная х₂ и х₃, можно из первого уравнения системы определить х₁ = 1.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.