Решение

Date: 2015-10-07; view: 347.

Задание 6

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Преобразуем данную систему уравнений путем элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Очевидно, что данная система четырех линейных уравнений сводится к системе двух уравнений вида

(10)

В качестве свободных переменных можно взять, например, переменные и , а переменные и - принять за базисные. Тогда система уравнений (10) преобразуется к виду

Из последнего уравнения системы находим , а из первого уравнения можно определить .

Эта система имеет бесконечное множество решений.

Общим решением исходной системы уравнений является

Полагая, например, и получим одно из частных решений данной системы линейных уравнений

При и получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

Тот же результат получается, если оперировать строками расширенной матрицы системы.

В данной системе число уравнений m = 4, а число неизвестных n = 4.

Составим расширенную матрицу системы:

.

Определим ранг этой матрицы:

(11)

Ранг полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрицы равен r=2. Поэтому и ранг расширенной матрицы, и ранг матрицы системы r(A′) = r(А) = 2. Следовательно, система совместна, но так как r(A′) = r(А) = 2 < n =4 то в соответствии с теоремой Кронекера – Капелли система неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице (11) соответствует система уравнений

(12)

которая была получена ранее, при элементарных преобразованиях исходной системы уравнений.

За базисные переменные можно принять любые две, определитель из коэффициентов при которых отличен от нуля, например, х₁ и х₂, так как . Тогда свободными переменными будут х₃ и х₄ . Систему уравнений (12) преобразуем к виду выразим х₁ и х₂ через х₃ и х₄ и найдем общее решение исходной системы уравнений

Полагая, например, и получим одно из частных решений данной системы линейных уравнений

При и получим базисное решение данной системы линейных уравнений.