Решение

Date: 2015-10-07; view: 333.

Задание 5

Решить систему уравнений методом Гаусса:

(7)

Преобразуем данную систему уравнений путем элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Из последнего уравнения системы находим . Тогда из второго уравнения можно определить , а из первого .

Эта система имеет бесконечное множество решений. Переменные и - свободные переменные - могут принимать любые значения, а переменные , и , которые называются базисными переменными, однозначно определяются заданием неизвестных и .

Общим решением системы линейных уравнений называется выражение базисных переменных через свободные

Частным решением системы линейных уравнений называется решение, полученное из общего для некоторой совокупности произвольных значений свободных переменных. Например, для системы уравнений (7) при и получим частное решение

Очевидно, что данная система уравнений имеет бесчисленное множество частных решений.

Базисным решением системы линейных уравнений называется решение, полученное из общего при условии равенства нулю свободных переменных. Например, для системы уравнений (2) при и получим базисное решение

К такому же результату можно прийти, оперируя строками расширенной матрицы системы.

В данной системе число уравнений m = 3, а число неизвестных n = 5.

Составим расширенную матрицу системы:

.

Определим ранг этой матрицы:

. (8)

Ранг полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрицы равен r=3. Поэтому и ранг расширенной матрицы, и ранг матрицы системы r(A′) = r(А) = 3. Следовательно, система совместна, но так как r(A′) = r(А) = 2 < n =5 то в соответствии с теоремой Кронекера – Капелли система неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице (8) соответствует система уравнений

, (9)

которая была получена ранее, при элементарных преобразованиях исходной системы уравнений.

За базисные переменные можно принять любые три, определитель из коэффициентов при которых отличен от нуля, например, х₁, х₃ и х₅, так как . Тогда свободными переменными будут х₂ и х₄ . Преобразуем систему уравнений (9) к виду

и выразим х₁, х₃ и х₅ через х₂ и х₄. Из последнего уравнения системы получаем , затем из второго находим и, наконец, из первого .

Следовательно, общим решением исходной системы уравнений является

Полагая, например, и , получим одно из частных решений данной системы линейных уравнений

При и получим базисное решение данной системы линейных уравнений