Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Date: 2015-10-07; view: 403.

Системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функции распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому

р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

Функцией распределения F(x, y)двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ). (8.1)

Рис.1. Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у). Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины. Свойства функции распределения. 1)0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью). 2)F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу: F(x₂, y) ≥ F(x₁, y), если x₂ > x F(x, y₂) ≥ F(x, y₁), если y₂ > y₁. Доказательство. F(x₂, y) = p(X < x₂, Y < y) = p(X < x₁, Y < y) + p(x₁ ≤ X < x₂, Y < y) ≥ p(X < x₁, Y < y) = F(x₁, y). Аналогично доказывается и второе утверждение. 3)Имеют место предельные соотношения: а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1. Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств. 4)При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х: F(x, ∞) = F₁(x). При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y : F( ∞, y) = F₂(y). Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) = р(Х < x) = F₁(x). Аналогично доказывается второе утверждение. Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной плотностью вероятности)непрерывной двумерной случайной величины называ-ется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения . (8.2) Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади этого прямоугольника при Свойства двумерной плотности вероятности.

1)f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен). 2) (cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти). 3) (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость Оху, то есть достоверного события).

Корреляционным моментомсистемы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:K_xy = μ_1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))). Для дискретных случайных величин

для непрерывных случайных величин Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции . Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y K_xy = 0. В этом случае f(x,y) = =f₁(x)f₂(y), тогда Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимы-ми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то r_xy = ±1. Найдем возможные значения коэффициента корреляции.Теорема 9.1. Доказательство. Докажем сначала, что Действительно, если рассмотреть случай-ную величину и найти ее дисперсию, то получим: . Так как дисперсия всегда неотрицательна, то откуда Отсюда что и требовалось доказать.

20. Случайные функции. Понятие случайной функции. Математическое ожидание случайной функции.Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х:Y = φ(X). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ(X), φ(x) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ(у) – функция, обратная к φ(х), то плотность распределения g(y) случайно функции Y равна: