Определение и примеры групп. Циклические группы

Date: 2015-10-07; view: 365.

Вопросы к экзамену по алгебре для направлений «Математика» и «Прикладная математика и информатика» (1 курс, зимняя сессия, 2013 г.)

1. Комплексные числа: связь с решением квадратных уравнений, геометрическое представление, тригонометрическая форма.
2. Операции над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление. Геометрическая интерпретация этих операций.
3. Возведение в натуральную степень и извлечение корня натуральной степени для комплексных чисел.
4. Решение систем из двух и трех линейных алгебраических уравнений через определитель квадратной матрицы.
5. Определитель квадратной матрицы n x n.Теорема о разложении определителя по столбцам.
6. Определитель транспонированной матрицы
7. Разложение определителя по строкам
8. Изменение знака определителя при перемене местами двух строк или столбцов
9. Определитель с одинаковыми троками или столбцами. Определитель матрицы с нулевым столбцом или нулевой строкой.
10. Разложение определителя на линейную комбинацию определителей.
11. Прибавление к строкам или столбцам линейных комбинаций друхих строк или столбцов определителя.
12. Разные способы вычисления определителя и их вычислительная сложность.
13. Определитель Вандермонда.
14. Правило Крамера.
15. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Случаи, когда решений нет, решение единственное, решений бесконечно много.
16. Определение ранга матрицы по методу Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
17. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов.
18. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.
19. Миноры матрицы. Связь ранга матрицы с порядком ненулевых миноров.
20. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы.
21. Многочлены от одной переменной, операции над ними, деление «столбиком».
22. Теорема о делении многочлена на многочлен.
23. Корень многочлена. Деление многочлена на x– c.
24. Метод Горнера.
25. Кратные корни.
26. Основная теорема алгебры и следствие из неё.
27. Формулы Виета.
28. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами.
29. Формула Кардано решения уравнений 3-й степени.
30. Способ Феррари решения уравнений 4-й степени.
31. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.
32. Следствие из алгоритма Евклида.
33. Взаимно простые многочлены.
34. Правильные и несократимые рациональные дроби. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной несократимой дроби.
35. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной несократимой дроби в сумму простейших.
36. Определение и примеры линейных пространств.
37. Группы, кольца, поля.
38. Линейная зависимость и независимость векторов (элементов линейного пространства).
39. Размерность линейного пространства. Базис линейного протсранства. Теорема о базисе.
40. Линейные преобразования линейных пространств. Умножение матрицы на вектор.
41. Сложение матриц.
42. Умножение матрицы на число.
43. Умножение матриц. Некоммутативность умножения. Перестановочные матрицы.
44. Обратная матрица.

Лектор,

к.ф.-м.н., доц.

А.Г.Варфоломеев

qГруппой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет след требованиям:

1) операция определена на G, т.е. для всех a, b из G;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c из G;

3) в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех a из G;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е для любого a из G существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если G – конечное множество, то G называют конечной группой, а число элементов в G – порядком группы.

Примеры групп. 1) , , , С - аддитивные группы.

2) , , , - мультипликативные группы.

3) Множество натуральных чисел не является аддитивной группой , не является и мультипликативной группой.

Группы, у которых все элементы являются степенями одного элемента, называются циклическими(В случае аддитивной записи роль степени играет кратное и вместо записи имеем a + a = 2a).

Пример 4.Множество М, состоящее из комплексных чисел 1,-1, i, -i , относительно умножения образует циклическую группу, так как все числа из М являются степенями одного числа, например i.