Определение и примеры колец. Типы колец

Date: 2015-10-07; view: 408.

qМножество К, с двумя определенными в нем алгебраическими операциями сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения связана с операцией сложения законами дистрибутивности, т.е.

.

Умножение, определенное в кольце, не обязано быть ни ассоциативным, ни коммутативным.

Если умножение, определенное в кольце К, ассоциативно, то кольцо К называется ассоциативным кольцом.

Если, кроме того, умножение, определенное в кольце К, коммутативно, то К называется коммутативным кольцом.

Если в кольце К существует единица, то К называется кольцом с единицей.

Примеры.1) Все целые числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и с единицей.

2) Все рациональные числа, все действительные, все комплексные числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и с единицей.

3) Ассоциативное, но не коммутативное кольцо образуют все квадратные матрицы n-го порядка с произвольными числовыми элементами.

4) Множество четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и без единицы.