Определение и примеры полей. Характеристика поля

Date: 2015-10-07; view: 433.

Кольцо Р называется полем, если оно состоит не только из одного нуля и если в нем деление всегда выполнимо, притом однозначным образом, во всех случаях, кроме деления на нуль.

Примеры.1)Примерами полей служат: кольцо всех рациональных чисел, действительных чисел, всех комплексных чисел. 2) Кольцо всех целых чисел полем не является.

Не все свойства числовых полей сохраняются в случае произвольного поля. Так, складывая число 1 само с собою несколько раз, т.е. беря любое целое положительное кратное единице, мы никогда не получим нуля, и вообще все эти кратные, т.е. все натуральные числа, отличны друг от друга (1 + 1 = 2 = , 1 + 1 + 1 = 3 = , ...). Итак, если все целые кратные единицы поля Р являются различными элементами поля Р, т.е. при , то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль. Таковы, например, все числовые поля.

Если же существуют такие целые числа k, l, что k > l, но в поле Р имеет место равенство , то , т.е. в Р существует такое положительное кратное единицы, которое оказывается равным нулю.

В этом случае Р называется полем конечной характеристики, а именно характеристики р, если р есть тот первый положительный коэффициент, с которым единица поля Р обращается в нуль. Примерами полей конечной характеристики служат все конечные поля.