Изоморфизмы и гомоморфизмы групп, колец, полей.

Date: 2015-10-07; view: 435.

Пусть G – группа и S – другая группа (или полугруппа) и пусть каждому элементу а из G сопоставлен некоторый элемент из S, т.е. дано отображение G в S. Отображение называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведению элементов из G соответствует произведение их образов, т.е. , где - образ элемента а из G при отображении .

Пример 5. -группа, где G = R–множество действительных чисел, S = R, -полугруппа. Отображение из G в S зададим формулой для любого х из G = R.Тогда отображение является гомоморфным или гомоморфизмом G в S,так как .

Группы (G, +) и (S, ) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение множества G на множество S, которое сохраняет операцию, т.е. .

Пример 6.Группы (Z, +) и (2Z, ) изоморфны (одинаковы), так как взаимно однозначное отображение множества G = Z на множество S = 2Z, при котором , сохраняет операцию сложения

.