Линейные преобразования и их матрицы

Date: 2015-10-07; view: 516.

Рассмотрим линейное пространство и преобразование этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается , а вектор называется прообразом вектора .

Определение 1. Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа выполнены равенства

(1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.

Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .

Исходя из равенств (1) легко проверить, что

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Матрица линейного преобразования

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим

(2)

Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (.2) и изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ...,

Вычислим произведение матрицы на столбец

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец - координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.