Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Date: 2015-10-07; view: 385.

Определение 1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

Предложение 1. Пусть -- собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть -- ненулевое число. Тогда -- тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу .

Доказательство.

Определение 2. Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Предложение 2. Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

Доказательство. Пусть и -- две подобные матрицы порядка . Рассмотрим -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис и рассмотрим линейное преобразование , которое в этом базисе имеет матрицу . По следствию 19.1 будет матрицей того же преобразования в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования будет совпадать со спектрами матриц и