Подгруппы. Смежные классы по подгруппе, фактор-группы.

Date: 2015-10-07; view: 490.

Пусть G – какая-нибудь группа, - ее подгруппа, т.е. часть совокупности G, элементы которой тоже составляют группу. Пусть L – какое-нибудь преобразование группы G. Если мы умножим слева каждое преобразование группы на L, то получим совокупность некоторых элементов группы G, которую мы будем обозначать символ и называть смежным классом группы G по подгруппе .

Теорема. Два смежных класса , или целиком совпадают, или не содержат общих элементов.

Из теории групп известно, что по любой подгруппе можно построить, разложение исходной группы g на непересекающиеся множества (смежные классы). В аддитивной записи (групповая операция - сложение) левым смежным классом группы g по подгруппе Н, порожденный элементом g g, называется множество элементов g+Н, представляемых в виде q+h,

где h Н. Аналогично можно ввести понятие правого смежного класса Н+g. Если левые и правые смежные классы совпадают, то подгруппа h называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой. Иначе говоря, разложение группы g в смежные классы по нормальному делителю Н является правильным разбиением этой группы.

С помощью инвариантной подгруппы h и группы g можно построить новую группу, элементами которой являются множества элементов g (смежные классы). При этом под суммой смежных классов g+Н и r+h (g, r g) понимается смежный класс (g+r)+Н. Роль нулевого элемента выполняет инвариантная подгруппа Н, а противоположным элементом для смежного класса g+Н служит -g+h. Эта группа смежных классов называется фактор-группой группы g по инвариантной подгруппе Н и обозначается g/h.