Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом
Date: 2015-10-07; view: 620.
Теорема 46.1. Кольцо L[x] многочленов над любым факториальным кольцом L факториально. Доказательство. Итак, в кольце коэффициентов L предполагаются выполненными условия (Ф.1) и (Ф.2).Целостное кольцо К называется факториальным, если выполнены следующие условия:(Ф.1) всякий ненулевой и необратимый элемент
представляется в виде произведения неразложимых элементов 
; (1)(Ф.2) разложение (1) определено однозначно, с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности, т. е. если помимо (1) имеется еще одно разложение на неразложимые элементы 
Докажем, что эти условия выполняются также и в L[x]. 1. Убедимся в выполнении (Ф.1). Рассмотрим ненулевой и необратимый элемент f (x) 
L[x]. Доказательство проведем индукцией по степени n = deg(f (x)).Если n = 0, т. е. f (x) = f0 есть ненулевой и необратимый скаляр, то он разлагается (в кольце L) в произведение неразложимых (в L и, следовательно, в L[x]) скаляров.Пусть теперь n > 0 и для всех многочленов степени меньшей n существует разложение на неразложимые множители.Рассмотрим многочлен f (x) степени n. Представим этот многочлен в виде 
; 
, выделив в нем его содержание d cont(f ) и примитивный многочлен f ◦ (x).Если многочлен f ◦ (x) является неприводимым над L, то он будет неразложимым элементом в L[x]. Тогда, разлагая d на не разложенные скаляры, мы получим разложение f (x) на неразложимые элементы. Если же многочлен f◦ (x) приводим, то он разлагается в произведение двух многочленов, степень каждого из которых положительна и меньше n. По предположению индукции, каждый из этих многочленов допускает разложение на неразложимые множители. Кроме того, содержание d также разложимо на неразложимые скаляры. В итоге получится разложение на неразложимые множители для f (x). Свойство (Ф.1) доказано. 2. Переходим к доказательству (Ф.2). Пусть имеются два разложения на неразложимые элементы для одного и того же многочленаf (x) L[x]: f (x) = a1 a2 ...ak p1 (x)p2 (x)...ps (x) = b1 b2 ...bl q1 (x)q2 (x)...qt (x), где участвуют неразложимые скаляры a1 , a2 , ..., ak ; b1 , b2 , ..., bl Lи неприводимые и примитивные многочлены положительной степени p1 (x), p2 (x), ..., ps (x); q1 (x), q2 (x), ..., qt (x) L[x].В силу леммы Гаусса, произведения примитивных многочленов g(x) = p1 (x)p2 (x)...ps (x); h(x) = q1 (x)q2 (x)...qt (x)являются примитивными многочленами. В силу замечания: 1.Произведение двух примитивных многочленов (над факториальным кольцом L) также является примитивным многочленом. 2. Для любых двух многочленов 
справедливо утверждение: 
Тогда равенство (a1 a2 ..ak )g(x) = (b1 b2 ...bl )h(x)влечет ассоциированности a1 a2 ..ak ~ b1 b2 ...bl (3)(в кольце L) и g(x) = p1 (x)p2 (x)...ps (x) ~q1 (x)q2 (x)...qt (x) = h(x) (4)(в кольце L[x]). Ассоциированность (3) равносильна равенству a1 a2 ...ak = vb1 b2 ...bl ; v L* , (5а)в котором обратимый множитель v можно отнести, например, к b1 , что не повлияет на неразложимость этого скаляра.В силу факториальности L, равенство (5а) влечет, во-первых, равенство k = l и, во-вторых, попарную ассоциированность ai ~ bi (i = 1, ..., k), после подходящей перенумерации множителей.Ассоциированность (4) равносильна равенству p1 (x)p2 (x)...ps (x) = uq1 (x)q2 (x)...qt (x); u L* , (5b)в котором обратимый множитель u можно отнести, например, к первому из неприводимых множителей в правой части, что не повлияет на его неприводимость.Но, в силу предложения (Многочлен 
над факториальным кольцом L неприводим над этим кольцом тогда и только тогда, когда он неприводим над полем частных F кольца L) , неприводимые над L многочлены останутся неприводимыми над полем частных F, соответствующим кольцу L. Равенство (5b) можно рассматривать в кольце F [x] многочленов над полем F. Известно, что это кольцо факториально. Поэтому указанное равенство влечет, в силу (Ф.2), что, во-первых, s = t, и, во-вторых, после подходящей перенумерации, множители левой части будут ассоциированы соответствующим множителям правой части.Но будем внимательны, эти ассоциированности имеют место уже над F, т. е. найдутся такие (ненулевые) элементы ri , vi L (где i = 1, ..., s), что 
Последнее равенство можно, домножив на vi , привести к виду vi pi (x) = ri qi (x). (6)Снова оказываемся (в силу примитивности участвующих в этом равенстве многочленов) и приходим к выводу pi (x) ~qi (x); i = 1, ..., s. (7)Это уже будут ассоциированности над L, именно те, которые требовалось установить. Доказательство свойства (Ф.2) завершено. Теорема доказана полностью. 
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Евклидовы и факториальные кольца | | | Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. |