Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
Date: 2015-10-07; view: 611.
Многочленом f(x1, x2, …, xn) от n неизвестных над некоторым полем Р называется сумма конечного числа членов вида 
, где ki³0, с коэффициентами из поля Р.
Два многочлена от n неизвестных называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых членах.
Если мы назовем степенью многочлена число к1+к2+…+кn, т.е. сумма показателей степени при неизвестных, то степенью многочлена (т.е. степенью по совокупности неизвестных) будет наивысшая из степеней его члена.
Суммой многочленов f и g называется новый многочлен, коэффициенты которого получаются сложением соответственных коэффициентов многочленов f и g.
Произведение многочленов f и g определяется как результат почленного и последовательного приведения подобных слагаемых.
Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим многочленом, если он не меняется при всех перестановках своих переменных.
Примеры:
1. сумма всех неизвестных;
2. сумма квадратов неизвестных;
3. произведение неизвестных.
Многочлены σ1 = x1 + . . . + xn , σ2 = x1 x2 + . . . + xn−1 xn , ... σn = x1 x2 . . . xnназываются элементарными симметрическими многочленами. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что всякий симметрический многочлен над произвольным полем K выражается через элементарные симметрические многочлены, причем это можно сделать единственным образом.Приведём точную формулировку основной теоремы о симметрических многочленах.Теорема 1.1.1) Для любого симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ) существует многочлен g(y1 , . . . , yn ) такой, что f (x1 , . . . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ),2) многочлен g(y1 , . . . , yn ) находится по исходному симметрическому многочлену f (x1 , . . . , xn ) однозначно.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом | | | Свойства |