Свойства

Date: 2015-10-07; view: 584.

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

1.В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень 1. См. также теорема Безу.

2.Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.

3.Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4.Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5.Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

23. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида абсолютно неприводим.