Свойства

Date: 2015-10-07; view: 375.

1.Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.

2.Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.

2.Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен xⁿ+px+p, где n>1 и p ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.

3.Если k=F_q — конечное поле из q элементов, а — n натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из k[x].

4.Предположим A― целозамкнутое кольцо с полем частных (например A=Z и k=Q ) и p ⋴ A[x]― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p=qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то q,r ⋴ A[x]

5.Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности Если степень многочлена (p) совпадает со степенью многочлена p и (p)неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p=qr, где p,r ⋴ A[x]и отличны от константы.

Например, многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в Z[x] (и, следовательно, неприводим в Q[x]), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры.Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов: p₁(x)=x²+4x+4=(x+2)(x+2),

p₂(x)=x²-4=(x-2)(x+2),

p₃(x)=x²-4/9=(x-2/3)(x+2/3),

p₄(x)=x²-2=(x- )(x+ ),

p₅(x)=x²+1=(x-i)(x+i)

Над полем дейст-ых чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но p₅(x) является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена x⁴+1 в поле действительных чисел имеет вид (x²+ ) (x²- ). Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.