Простые и конечные расширения числовых полей.
Date: 2015-10-07; view: 375.
Пусть P[x] — кольцо многочленов от x над полем P, где P — подполе поля F.Напомним, что элемент z поля F называется алгебраическим над полем P, если является корнем какого-нибудь многочлена положительной степени из P [x]. Пусть P < F. Простым расширением поля P с помощью элемента а называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент а. Простое расширение P с помощью а обозначается через P (а). Пример. Пусть в поле Р даны подполе Р1 и элемент с, лежащий вне Р1. Пусть мы нашли минимальное подполе Р2 поля Р, содержащее и Р1 и с. Такое минимальное подполе может быть только одно. Говорят, поле Р2 получено присоединением к полю Р1 элемента с и записывается, как Р(с).Расширение поля рациональных чисел Q, состоящее из чисел вида a+b
c рациональными a, b. Это расширение получается присоединением к полю рациональных чисел . Q(p) – трансцендентное неалгебраическое расширение. Конечное расширение поля.Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т.е. рассматривать векторное пространство (F, +, *уÎP), где *уÎP - операция умножения элементов из F на скаляр у из P. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].Если z — алгебраический элемент степени n над P, то [P(z):P]=n.Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.Теорема. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.Доказательство. Пусть n - размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1,х, ..., хn, т. е. существуют в P такие элементы с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0х1+ с1х2+…+cnхn = 0.Следовательно, элемент х является алгебраическим над P.Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Свойства | | | Неразрешимость некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой. |