Отображения. Разбиения на классы.

Date: 2015-10-07; view: 512.

Отображение множеств. Общее понятие функции.

В анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу xÎX поставлено в соответствие определенное число y=f(x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, - ее областью значений.

Если же вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции. Пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на М определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу xÎM поставлен в соответствие один и только один элемент y из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых множеств) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое. При специализации природы множеств M и N возникают специальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционал», «оператор» и так далее. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функции (отображения) из М в N мы будем часто пользоваться записью f: M®N.

Если а – элемент из M, то отвечающий ему элемент b=f(a) из N называется его образом (при отображении f). Совокупность всех тех элементов а из M, образом которых является данный элемент bÎN, называется прообразом (или, точнее полным прообразом) элемента b и обозначается f^-–1(b).

Пусть А – некоторое множество из М; совокупность {f(a) | aÎA} всех элементов вида f(a), где aÎA, называется образом А и обозначается f(A). В свою очередь для каждого множества В из N определяется его (полный) прообраз f^–1(B), а именно: f^-–1(B) есть совокупность всех тех элементов из М, образы которых принадлежат В. Может оказаться, что ни один элемент b из В не имеет непустого прообраза, тогда и прообраз f^-–1(B) будет пустым множеством.

Здесь мы ограничимся рассмотрением самых общих свойств отображений.

Введем следующую терминологию. Мы будем говорить, что f есть отображение множества М «на» множество N, если f(M)=N; такое отображение называют также сюръекцией. Будем писать f: M N. (В общем случае, то есть, когда f(M)ÌN, говорят, что f есть отображение М «в» N.)

Если для любых двух различных элементов x₁ и x₂ из М их образы y₁=f(x₁) и y₂=f(x₂) также различны, то f называется инъекцией (будем писать f: M N). Отображение f: M N, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между M и N, будем писать f: M«N.

Пример. Рассмотрим три функции f_i: R®R, i=1, 2, 3:

1) функция f₁(x)=e^x инъективна, но не сюръективна;

2) функция f₂(x)=x×sin x сюръективна, но не инъективна;

3) функция f₃(x)=2x-1 биективна.

Установим основные свойства отображений.

Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:

f­^–1(A B)=f^–1(A) f^-–1(B).

Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

f^-–1(A B)=f^-–1(A) f^-–1(B).

Теорема 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов: f(A B)=f(A) f(B).

Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов. Например, пусть рассматриваемое отображение представляет собой проектирование плоскости на ось x. Тогда отрезки 0£x£1, y=0; 0£x£1; y=1 не пересекаются, а в то же время их образы совпадают.