Отношения и алгебраические операции.

Date: 2015-10-07; view: 383.

Понятие группы, подгруппы, кольца, идеала, тела.

Отношения, алгебраические операции, свойства.

ЛЕКЦИЯ N2.

1.Отношения и алгебраические операции. 5

2.Группы, подгруппы. Определения и свойства. 6

3.Понятие кольца, идеала, тела. 7

В самых различных вопросах встречаются разбиения тех или иных множеств на попарно непересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси x, трехмерное пространство можно представить как объединение концентрических сфер различных радиусов (начиная с r=0), жителей данного города можно разбить на группы по их году рождения и т.п.

Каждый раз, когда некоторое множество А представлено тем или иным способом как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества А на классы.

Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества А объединяются в классы. Например, множество всех треугольников на плоскости можно разбить на классы равных между собой или на классы равновеликих треугольников, все функции от x можно разбить на классы, собирая в один класс функции, принимающие в данной точке одинаковые значения, и так далее.

Пусть А – некоторое множество и пусть некоторые из пар (a; b) элементов этого множества являются «отмеченными». Если (a; b) – «отмеченная» пара, то мы будем говорить, что элемент а связан с b отношением j, и обозначать это символом a b. Например, если имеется в виду разбиение треугольников на классы равновеликих, то a b означает «треугольник а имеет ту же площадь, что и треугольник b». Данное отношение j называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивность: a a для любого элемента aÎA.

2. Симметричность: если a b, то b a.

3. Транзитивность: если a b и b c, то a c.

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение j (признак!) позволяло разбить множество А на классы. В самом деле, всякое разбиение данного множества на классы определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности. Действительно, если a b означает «а находится в том же классе, что и b», то отношение j будет рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Понятие эквивалентности является частным случаем более общего понятия бинарного отношения или еще более общего n-местного отношения.

n-местным отношением или n-местным предикатом P на множествах

А₁, A₂,…, A_n называется любое подмножество прямого произведения . Другими словами, элементы x₁, x₂,…, x_n (где x₁ÎA_1,…,x_nÎA_n) связаны соотношением P (обозначается P(x₁, x₂,…, x_n)) тогда и только тогда, когда (x₁, x₂,…, x_n)ÎP.

При n=1 отношение P является подмножеством множества А₁ и называется унарным отношением или свойством.

Наиболее часто встречаются двухместные отношения (n=2). В этом случае они называются бинарными отношениями или соответствиями. Таким образом, соответствием P между множествами А и В является подмножество множества .

Если P A B и (x, y)ÎP, то пишут также xPy.

Отношение P Aⁿ называется n-местным отношением (предикатом) на множестве А.

Пример. Если A={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то бинарное отношение P={(x, y) | x, yÎA, x делит y и x£3} можно записать в виде P={(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6)}.

Возвращаясь к рассматриваемому ранее отношению j в некотором множестве А, видим, что это бинарное отношение, подчиненное условиям: рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Для обозначения функции (отображения) из А в В мы пользовались записью f: A B. Функция f: Aⁿ®B называется n-местной функцией из А в В. Если y – значение n-местной функции f при значении аргумента (x₁, x₂,…, x_n), то пишем y=f(x₁, x₂,…, x_n). Функция

f: Aⁿ®A называется n-местной алгебраической операцией на множестве А. При n=1 операция f называется унарной, при n=2 – бинарной. При n=0 операция f: A⁰®A есть {(Æ, a)} для некоторого aÎA. Часто 0-местную операцию {(Æ, a)} на A будем называть константой на А и отождествлять с элементом а.

Пример. Операция сложения вещественных чисел является двухместной, то есть бинарной операцией +: R²®R, которая паре чисел (a, b) ставит в соответствие число a+b по обычному правилу: +(a, b)=a+b. Любой выделенный элемент множества R, например , является 0-местной операцией, то есть константой на R.

Очевидно, что n-местная операция на множестве А является (n+1)-местным отношением на том же множестве А.