Группы, подгруппы. Определения и свойства.

Date: 2015-10-07; view: 379.

(a) Множество G называется группой, если в нем определена одна бинарная операция, которая каждой паре элементов (а,b) множества G ставит в соответствие некоторый объект (результат операции) a⊙b так, что:

1) a⊙b является элементом множества G (замкнутость по отношению к определяющей операции);

2) a⊙(b⊙c)=(a⊙b)c (ассоциативный закон);

3) G содержит левую единицу Е такую, что для каждого элемента а из G, Е⊙а=а;

4) для каждого элемента а из G в G существует (левый) обратный элемент а^-1 такой, что а^-1⊙а=Е.

Два элемента a, b некоторой группы перестановочны, если a⊙b=b⊙a. Если все элементы a, b группы G перестановочны, то определяющая операция называется коммутативной, а группа G – коммутативной или абелевой группой. Группа G, содержащая конечное число g элементов, называется конечной группой (группой порядка g); в противном случае G – бесконечная группа. В этом последнем случае группа G может быть счетной или несчетной.

(b) Каждая группа G имеет единственную левую и единственную правую единицу, и эти единицы равны (Е⊙а=а⊙Е=а). Каждый элемент а имеет единственный левый и единственный правый обратный элемент, и эти элементы равны (а^-1⊙а=а⊙а^-1=Е).

Отсюда

из c⊙a=c⊙b следует a=b, ü

ý законы сокращения

из a⊙c=b⊙c следует a=b þ

Группа G содержит единственное решение x любого уравнения c⊙x=b или x⊙c=b, то есть в группе возможны однозначно определенные правое и левое «деление».

(с) Операцию, определяющую группу, часто называют (абстрактным) умножением; тогда ее результат записывается как произведение ab, а элемент, обратный элементу а, - как а^-1. Это соглашение свободно используется в следующих пунктах.

Кратные произведения аа, ааа,… записывают в виде целых степеней а², а³,…, причем

(а^-1)ⁿ=а^-n, а⁰=Е. Заметим, что (а^-1)^-1=а; а^maⁿ=a^m+n; (a^m)ⁿ=a^mn; (ab)^-1=b^-1a^-1.

(d) Подмножество G₁ группы G называется ее подгруппой, если G₁ является группой в

смысле определяющей операции группы G. Это справедливо в том и только в том случае, если 1) множество G₁ содержит все произведения принадлежащих ему элементов и все элементы, обратные его элементам или 2) для любой пары элементов a, b из G₁ множество G₁ содержит и произведение ab^-1.