Понятие кольца, идеала, тела.

Date: 2015-10-07; view: 423.

(а) Множество К называется кольцом, если определены две бинарные операции, обычно называемые (абстрактными) сложением и умножением, такие, что

1) К есть коммутативная группа по сложению (аддитивная группа), то есть К замкнуто по отношению к сложению, и

a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c,

a+0=a, a+(-a)=0;

2) произведение ab есть элемент К (замкнутость по отношению к умножению);

3) a(bc)=(ab)c (ассоциативный закон для умножения);

4) a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca (дистрибутивные законы).

Заметим, что a×0=0×a=0 для любого элемента а кольца К. Два элемента р¹0 и q¹0 кольца К, для которых pq=0, называются соответственно левым и правым делителями нуля. В кольце без делителей нуля из ab=0 следует либо а=0, либо b=0, либо a=b=0 и действуют законы сокращения.

(b) Если кольцо К содержит левую единицу, то есть такой элемент Е, что Еа=а для всех а, и правую единицу, то есть такой элемент Е^/, что аЕ^/=а для всех а, то Е^/=Е и Е обязательно является как единственной левой, так и единственной правой единице. В этом случае Е называется кольцом с единицей.

Если а – произвольный элемент кольца с единицей Е, то его левым обратным (мультипликативным) элементом называют такой элемент a_l^-1, что a_l^-1a=E. Аналогично,

a_r^-1 называется правым обратным элементом, если aa_r^-1=E.

Если элемент а обладает как левым, так и правым обратным элементом, то они равны между собой: a_l^-1=a_r^-1=a^-1, в этом случае элемент а обладает единственным обратным элементом.

Заметим, что не все элементы кольца обязаны иметь обратные элементы.

(с) Поле есть кольцо с единицей, которое содержит:

1) по крайней мере, один элемент, отличный от нуля

2) для каждого элемента а¹0 мультипликативный обратный элемент а^-1.

Ненулевые элементы поля F образуют группу по умножению.

Если а и с - произвольные элементы поля F, причем с¹0, то уравнения cx=b и xc=b имеют в F решения; эти решения единственны (однозначно определенное левое и правое деление). Делителей нуля в поле нет.

(c) Кольцо или поле коммутативны, если ab=ba для всех a и b. Коммутативное поле

иногда называют просто полем, в отличие от тела или некоммутативного поля. Полем Галуа называют конечное коммутативное поле. Область целостности – это коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любая конечная область целостности является полем Галуа.

Примеры полей: рациональные числа, действительные числа, комплексные числа.

Примеры областей целостности: целые числа, комплексные числа с целой действительной и мнимой частью, многочлены с действительными или комплексными коэффициентами.

Примеры коммутативных колец: четные целые числа (кольцо без единицы), непрерывные функции на конечном интервале (кольцо имеет делители нуля).

(d) Подмножество I₁ кольца К называется идеалом в К, если

1) I₁ есть подгруппа К по сложению;

2) I₁ содержит все произведения ab (левый идеал), или все произведения ba (правый идеал), или все произведения ab и ba (двусторонний идеал), где а – любой элемент из I₁, а b – любой элемент из К.

Пример. В кольце всех чисел числа, кратные некоторому числу p, составляют двусторонний идеал.