Алгебраические системы.

Date: 2015-10-07; view: 487.

Алгебраические системы, морфизмы, топологические пространства.

ЛЕКЦИЯ N3.

1.Алгебраические системы. 8

2.Морфизмы. 9

3.Топологические пространства. 10

Часто объектом изучения в математике и ее приложениях служит множество вместе с определенной на нем структурой. Нам уже известны поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь геометрических объектов с операциями над числами, множества с введенными на них бинарными отношениями. Все эти структуры образуют алгебраические системы, представляющие собой некоторые миры с определенными в них законами.

Рассмотрим непустое множество А. Ранее было введено понятие n-местной операции на множестве А: f: Aⁿ®A. Отметим, что, поскольку операция f является функцией, для любого набора (x₁, x₂,…, x_n)ÎAⁿ результат применения операции f(x₁, x₂,…, x_n) однозначно определен. Так как область значений операции f лежит в множестве А, то будем говорить, что операция f замкнута на множестве А.

Сигнатурой или языком S называется совокупность предикатных и функциональных символов с указанием их местности. 0-местный функциональный символ называется константным символом или просто константой. Если a - функциональный или предикатный символ, то его местность обозначается через m(a). n-местные предикатные и функциональные символы часто будем обозначать соответственно через P⁽ⁿ⁾ и f⁽ⁿ⁾. Если в рассматриваемой сигнатуре используются стандартные символы, такие, как + для операции сложения, £ для отношения порядка, | для отношения делимости, 0 для константного символа и другие, то мы просто пишем S={£}, S={£, +, -, 0}, S={+, -, |, 0, 1} и так далее.

Алгебраической системой U= A, S сигнатуры S называется непустое множество А, где каждому n-местному предикатному (функциональному) символу из S поставлен в соответствие n-местный предикат (соответственно операция), определенный на множестве А. Множество А называется носителем или универсумом алгебраической системы А, S . Предикаты и функции, соответствующие символам из Σ, называются их интерпретациями. Обозначать интерпретации будем теми же буквами, что и соответствующие символы сигнатуры. Заметим, что интерпретацией любого константного символа является некоторый элемент (константа) из А.

Алгебраические системы в дальнейшем будут обозначаться готическими буквами (возможно с индексами), а их носители – соответствующими латинскими буквами A, B,… (с соответствующими индексами). Иногда мы будем отождествлять носитель с алгебраической системой.

Мощностью алгебраической системы называется мощность ее носителя А. В дальнейшем будем часто опускать слово «алгебраическая» и называть ее системой или структурой.

Сигнатура S называется функциональной (предикатной), если она не содержит предикатных (функциональных) символов. Система называется алгеброй (моделью), если ее сигнатура функциональна (предикатна).

Пример. 1. Набор w, +, × является алгеброй с двумя двухместными операциями.

2. Набор w, £, +, ×, ^/, 0, 1 является системой с бинарным отношением

£ (m(£)=2), двухместными операциями +, × (m(+)=(m(×)=2), одноместной операцией ^/: n®n+1 (m(^/)=1) и двумя нуль-местными операциями (константами) 0, 1 (m(0)=m(1)=0).