Морфизмы.

Date: 2015-10-07; view: 452.

Пусть даны алгебраические системы U= A, å , B= B, å .

Отображение j: А B называется гомоморфизмом системы U в систему B, если выполняются следующие условия:

1) для любого функционального символа f⁽ⁿ⁾Îå, соответствующих функций f_U и f_B в системах U и B и любых a₁, a₂,…, a_nÎA выполняется j(f_U(a₁, a₂,…, a_n))=f_B(j(a₁), j(a₂),…,j(a_n));

2) для любого предикатного символа P⁽ⁿ⁾Îå, соответствующих предикатов P_U и P_B в системах U и B и любых а₁, а₂,…, а_nÎA выполняется (a₁, a₂,…,a_n)ÎP_UÞ(j(a₁), j(a₂),…,j(a_n))ÎP_B.

Если j: А®В – гомоморфизм, то будем его обозначать через j: U®B.

При гомоморфизме сохраняются действия операций и отношения. Это позволяет переносить изучение свойств с одной системы на другую.

Пример. Рассмотрим системы U= Z, +, £ и B= Z², +, £ , где в системе B сложение задается по правилу (a₁, b₁)+(a₂, b₂)=(a₁+a₂, b₁+b₂), а отношение порядка

(a₁, b₁)£(a₂, b₂)Ûa₁£a₂ и b₁£b₂.

Отображение j: Z®Z², при котором j(а)=(а, 0), является гомоморфизмом. Действительно, для любых a, bÎZ имеем j(a+b)=(a+b,0)=(a, 0)+(b, 0)=j(a)+j(b), и если a£b, то (a, 0)£(b, 0), то есть j(a)£j(b).

Гомоморфизм j: U®B, являющийся инъекцией, называется мономорфизмом. Гомоморфизм j: U®B, являющийся сюръекцией, называется эпиморфизмом, и при этом система B называется гомоморфным образом системы U. Гомоморфизм j: U®U называется эндоморфизмом. Сюръективный мономорфизм j: U®B, для которого j^-1 – гомоморфизм, называется изоморфизмом U на B и обозначается через j: U B. Если существует изоморфизм j: U B, то системы U и B называются изоморфными и обозначается это так: j: U @ B. Изоморфизм j: U U называется автоморфизмом системы U. Заметим, что, поскольку изоморфизм j: U B является биекцией А«В, изоморфные системы равномощны.

Таким образом, отношение изоморфизма @ является эквивалентностью на любом множестве алгебраических систем (отметим, что класс всех алгебраических систем не является множеством, поскольку не существует множества всех множеств). Это означает, что отношение изоморфизма разбивает множества алгебраических систем на классы эквивалентности, в каждом из которых содержатся системы, имеющие «одинаковое устройство». Это дает возможность переносить изучение свойств с одной системы на другую, изоморфную ей. Так, используя факт изоморфизма геометрического векторного пространства пространству строк, работу с геометрическими объектами можно свести к действиям с наборами чисел, что позволяет применять компьютеры.