Топологические пространства.

Date: 2015-10-07; view: 491.

(а) Класс С объектов (точек) x называется топологическим пространством, если он может быть представлен как объединение некоторого семейства I своих подмножеств, которое содержит:

1) пересечение любой пары своих множеств,

2) объединение любого множества своих множеств.

Элементы семейства I и пустое множество называются открытыми множествами пространства С, а семейство открытых множеств – топологией пространства С. Некоторое семейство В открытых множеств называется базой пространства С, если каждое множество из I есть объединение каких-либо множеств из В.

Пересечения любого подмножества С₁ топологического пространства С с открытыми множествами этого пространства задают топологию в С₁ (относительная топология подпространства С₁).

(b) При данной топологии окрестностью точки xÎC называют любое множество в С,

которое содержит открытое множество, содержащее x. Часто под окрестностью точки x понимают только открытое множество, содержащее x. В этом множестве определены предельные, внутренние, граничные и изолированные точки. Точка P есть предельная точка множества SÌС, если каждая окрестность точки P содержит точки множества S, отличные от P. Точка P есть внутренняя точка множества S, если P имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка PÎC, не являющаяся внутренней точкой ни множества S, ни его дополнения до С, есть граничная точка множества S. Точка P множества S есть его изолированная точка, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества S.

В любом топологическом пространстве С множество является открытым в том и только в том случае, если оно содержит только внутренние точки; множество S замкнуто: 1) если S есть дополнение в С некоторого открытого множества или 2) если S содержит все свои предельные точки (равносильные определения).

Топологическое пространство С называется компактным, если всякая бесконечная последовательность его точек имеет в нем хотя бы одну предельную точку; это имеет место в том и только в том случае, если каждое счетное семейство открытых множеств, покрывающее С (то есть объединение которого равно С), содержит конечное подсемейство, покрывающее С.

Множество точек S топологического пространства С называется относительно компактным (компактным в С), если всякая бесконечная последовательность точек множества S имеет предельную точку в С. Множество S компактно (компактно в себе), если каждая бесконечная последовательность его точек имеет предельную точку в S.

Топологическое пространство С называется бикомпактным, если каждое семейство открытых множеств, покрывающее С, содержит конечное подсемейство, покрывающее С. Бикомпактное пространство компактно.

(c) Непрерывность. Гомеоморфизмы. Отображение (преобразование, соответствие,

функция, операция) x x^/=f(x) топологического пространства С в топологическое пространство С^/ называется непрерывным в точке аÎС, если для каждой окрестности U^/ точки f(a) в С^/ существует такая окрестность U точки а в С, образ которой содержится в U^/. Отображение f(x) непрерывно в С, если оно непрерывно в каждой точке пространства С; для этого необходимо и достаточно, чтобы множество всех точек, отображающихся в любое открытое множество U^/ пространства С^/ (полный прообраз множества U^/), было открыто в С.

Непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее непрерывное обратное отображение, называется гомеоморфизмом или топологическим отображением; соответствующие топологические пространства называются гомеоморфными или топологически эквивалентными.

(е) Топология – наука о свойствах и величинах, инвариантных относительно топологических отображений. Весьма существенно, что подходящие топологические пространства служат моделями, допускающими определение сходящихся предельных процессов с помощью понятия окрестности. В конкретных случаях топология часто вводится прямо путем определения окрестностей или сходимости.