Векторное пространство.
Date: 2015-10-07; view: 513.
Векторная алгебра.
Векторное пространство. Линейные операции над векторами.
ЛЕКЦИЯ N4.
1.Векторное пространство. 11
2.Векторная алгебра. 12
3.Системы координат. 17
Рассмотрим теперь множество К и поле P произвольной природы. Предположим, что для всех элементов из К определены операции сложения и умножения на числа из Р. Будем называть элементы из К векторами, независимо от их конкретной природы.
Множество К называется линейным или векторным пространством над полем P,
если для всех векторов из К определены операции сложения и умножения на числа из P, причем выполнены следующие аксиомы:
А. Каждой паре векторов x, yотвечает вектор x+y, называемый суммой x и y, причем:
- сложение коммутативно: x+y=y+x;
- сложение ассоциативно: x+(y+z)=(x+y)+z;
- существует единственный нулевой вектор 0 такой, что x+0=x для любого вектора x;
- для каждого вектора xсуществует единственный противоположный вектор –x, такой, что x+(-x)=0.
В. Каждой паре a, x, где a - число, а x – вектор, отвечает вектор ax, называемый произведением a и x, причем:
- умножение на число ассоциативно: a(bx)=(ab)x;
- 1×x=x для любого вектора x.
С. Операция сложения и умножения связаны между собой следующими соотношениями:
- умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов: a(x+y)=ax+ay;
- умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел: (a+b)x=ax+bx.
В любом линейном пространстве для каждого вектора x имеет место равенство 0×x=0, где в правой части 0 означает нулевой вектор, а в левой – число нуль.
В любом линейном пространстве для любого вектора x справедливо соотношение
–x=(-1)x.
В любом линейном пространстве имеет место равенство a×0=0 для любого a.
С точки зрения операций умножения, сложения и вычитания формально имеют место все правила эквивалентных преобразований алгебраических выражений в любом линейном пространстве. В дальнейшем эти правила мы уже не будем оговаривать особо.
Множество L линейного пространства К называется его линейным подпространством, если при тех же операциях, что и в пространстве К, оно само является линейным пространством.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора, является линейным подпространством. Это подпространство называется нулевым.
Наименьшим подпространством является нулевое, наибольшим – само исходное линейное пространство. Эти два пространства называются тривиальными, остальные – нетривиальны.
Каждое линейное пространство в своем описании содержит две существенно различные части. Во-первых, линейное пространство есть совокупность конкретных объектов, называемых векторами. Во-вторых, над этими конкретными объектами определены операции сложения и умножения на число. Поэтому можно интересоваться либо природой векторов и их свойствами, либо свойствами указанных операций независимо от природы элементов.
Во всех практически интересных случаях построение и исследование линейных пространств осуществляется в два этапа: сначала, учитывая природу векторов, определяют операции сложения и умножения на число, а затем на основе свойств этих операций изучают сами пространства. Поэтому два пространства, устроенные одинаково по отношению к операциям сложения и умножения на число, можно считать обладающими одинаковыми свойствами.
Рассмотрим множество всех линейных пространств, заданных над одним и тем же полем Р. Естественно спросить, чем похожи и чем различаются между собой эти пространства.
Векторы любого класса допускают однозначное представление в виде перемещений (то есть направленных отрезков) в геометрическом пространстве.
В большинстве приложений векторы появляются как функции точки в геометрическом пространстве.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Топологические пространства. | | | Векторная алгебра. |