Линейные пространства. Базис. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.

Date: 2015-10-07; view: 413.

Рассмотрим непустое множество V элементов произвольной природы. Зададим на этом множестве правило, по которому любым двум элементам множества V становится в соответствие однозначно определенный элемент этого же множества. Это правило назовем сложением и обозначим а+b=с.

На множестве V зададим правило, по которому каждому числу а из поля Р и каждому элементу из множества V ставится в соответствие однозначно определенный элемент из множества V. Это правило назовем умножением элемента на число и обозначим ka= b.

О.Множество V элементов произвольной природы называется линейным (векторным) пространством над полем Р, а элементы множества называются векторами, если на этом множестве указаны две операции: сложение векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющие двум группам аксиом.

I. Аксиомы сложения.

1. а, b, c V , (а +b)+ с = а +(b+ с) - сложение ассоциативно.

2. а, b V , a +b = b+ a - сложение коммутативно.

3. а V, o V: a+ = 4. а V, b V:a+b = o

II. Аксиомы умножения на число.

1. а V, 1* а=а (1- единица поля Р)

2. а V, k,m Р , (k + m) а= kа + mа

3. а, b V, k Р, k(a +b)= ka+kb

4. а V, k,m Р, k(m а)=( km) а