Примеры линейных пространств.

Date: 2015-10-07; view: 522.

1.n-мерное арифметическое простр-во над полем Р

2.множество всех матриц данного размера m*n над полем Р

Опр.Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов этого пространства, удовлетворяющая двум условиям:

1.данная система векторов линейно независима

2.любой вектор пространства линейно выражается через данную систему векторов.

Теорема.Разложение любого вектора по данному базису линейного пространства единственно.

Док-во.Пусть - базис линейного пространства V. Пусть х V.

Предположим, что существует два разложения вектора х по базису

и

Вычтем из первого равенства второе, получим:

Так как - базис, то последнее равенство возможно, если все коэффициенты равны 0.

следовательно

О.Коэффициенты разложения вектора х по данному базису называются координатами вектора относительно данного базиса.

x=(x¹,x²,…,xⁿ)- строка из координат

Т.При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы строки (столбцы) из их координат.

Т.Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит из n векторов.

Док-воПусть в линейном пространстве существуют два базиса и d₁,d₂,…,d_m, причем m>n. Каждый из векторов базиса d₁,d₂,…,d_m разложим по базису и составим матрицу, столбцами которой будут координаты векторов d₁,d₂,…,d_m .

Получим матрицу размерами mxn и ранг (число линейно независимых строк в матрице) ее не превосходит n.Так как m>n,то есть число векторов превышает их размерность, следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, значит, зависимы и векторы d₁,d₂,…,d_m, что невозможно, так как d₁,d₂,…,d_m - базис.

Таким образом, получаем противоречие. Значит, все базисы состоят из одного и того же числа векторов

Опр.Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, назовем n-мерным, а число n - размерностью пространства.

Опр.Пусть V₁ и V₂ - два векторных пространства над одним полем Р.

Отображение : V₁ —> V₂ называется линейным, если:

1. х, у V₁, (х+у)= (x)+ (y)

2. Р, х V₁ ( х)=k (x)

Если V₁ = V₂, то называется линейным преобразованием пространства V₁.

Опр.Пусть -линейное преобразование линейного пространства V над полем Р. Ненулевой вектор х V называется собственным вектором преобразования , если существует Р такое, что х= x. При этом называется собственным значением (или собственным числом) преобразования .

Укажем два свойства собственных векторов.

Св-во1. Собственные векторы линейного преобразования,принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Св-во2. Пусть -линейное преобразование пространства V и - некоторое собственное число . Обозначим через L₁( )-множество всех собственных векторов, принадлежащих . Добавим к этому множеству нулевой вектор и обозначим через L( )=L₁( ) . Тогда L( ) является подпространством пространства V (оно называется собственным подпространством, относящимся к собственному числу ).

Д-во. Пусть x₁,x₂ L( ), тогда x₁= x₁ и x₂= x₂. Рассмотрим (х₁+х₂). В силу линейности получим: (х₁+х₂)= х₁+ х₂= x₁+ x₂= (х₁+х₂). Откуда следует, что х₁₊х₂ также собственный вектор преобразования , соответствующей собственному числу .

Аналогично рассмотрим (kх₁)=k х₁=k x₁= (kх₁). Откуда следует, что kх₁также собственный вектор с собственным числом .

Значит, L( )- подпространство пространства V.