Решение.

Date: 2015-10-07; view: 395.

Задача 41.

Решение.

Задача 40.

Найти интервалы убывания функции

Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

			-

Итак, функция убывает на интервале .

Найти интервалы выпуклости функции

Функция является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем

Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:

		-3
			-		+		-

Итак, функция выпукла при

Дана функция

Найти точки разрыва и установить их характер.

Решение. Функция называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем

Последнее равенство означает, что

Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода.

Если - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.

В том случае, когда - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:

устранимый, если

со скачком, если

(величина скачка ).

Рассмотрим заданную функцию при . Здесь Функция не определена в точке , значит в этой точке разрыв.

Вычислим односторонние пределы:

Итак, значит, при имеем устранимый разрыв I рода.

Если то Функция не определена в точке значит это точка разрыва.

Вычислим односторонние пределы.

Так как - точка разрыва II рода.

В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид.

В этой точке функция определена:

Найдем односторонние пределы:

Итак, для точки односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком

Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при разрыв I рода со скачком при .