Уравнение вида

Date: 2015-10-07; view: 528.

называется линейным неоднородным уравнением. Числа называют коэффициентами уравнения. Параметры - неизвестными уравнения. Число b – свободный член уравнения (1.1). Если b=0 , такое уравнение называется однородным:

соответствующим неоднородному уравнению (1.1)

Множество чисел , таких, что обращающих уравнение (1.1) в тождество называется решением линейного уравнения (1.1). Очевидно, что решением однородного уравнения (1.2) является . Такое решение называется тривиальным т.е. (очевидным и малоинтересным). Кроме тривиального, однородное уравнение может иметь и нетривиальное (т.е. отличное от нулевого) решение. Система уравнений вида:

Называется системой линейных уравнений. Здесь - неизвестные, - коэффициенты при неизвестных и -свободные члены.

Решением системы (1.3) называется упорядоченная система чисел обращающая при замене ими соответствующих неизвестных уравнения системы (1.3) в тождества.

Система линейных уравнений

в которой все свободные члены , называется однородной, соответствующей неоднородной системе (1.3). Для однородной системы линейных уравнений всегда существует тривиальное решение. Если кроме нулевого решения однородная система не имеет других решений, то она называется тривиально совместной . Если кроме нулевого решения существуют еще и ненулевые решения, то однородная система называется нетривиально совместной.

§2. СИСТЕМЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.

Рассмотрим систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными:

Будем решать эту систему методом исключения переменных: для определенности исключим неизвестное y, для этого умножим 1-е уравнение на , а 2-е на и , почленно сложив уравнения, получим:

Аналогично, исключая из системы неизвестное х, можно получить:

Введем следующие обозначения

Символы назовем определителями 2-го порядка (в соответствии с порядком системы) – элементы определителей , образующие строки и столбцы. - обозначения определителей. Величину будем называть определителем системы. Он представляет собой таблицу из коэффициентов при неизвестных x и y. Величины называют определителями при неизвестных x и y. Для их получения необходимо столбцы коэффициентов соответствующего неизвестного заменить столбцом из свободных членов.

Отметим простейшие свойства определителей 2-го порядка , проверяемые непосредственно по формуле:

1) Если элементы любой строки (столбца) равны нулю, то определитель ∆=0;

2) Если элементы строк (столбцов) пропорциональны, то определитель ∆=0. Действительно из следует =0, откуда =∆=0;

3) Если строки (столбцы) поменять местами, то знак определителя сменится на противоположный

4) Если определитель элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно выносить за знак определителя.

Действительно

Используя определители, систему (1.5) можно записать в эквивалентном виде:

Рассмотрим 3 возможных случая:

1) ∆≠0, тогда х= ; у= ; (Эти формулы для нахождения решения системы линейных уравнений называются формулами Крамера).

2) ∆=0, Пусть для определенности . Заметим, что из ≠0 следует, что и ≠0. Действительно, ∆=0, значит но ≠0 , значит ; что влечет ; отсюда следует ≠0. Система (1.6) имеет вид:

, т. е. система несовместна

Пусть ∆=0, = =0 отсюда следует, что =λ и система (1.5) вырождается в одно уравнение, например, .Действительно после сокращения на принимает вид
.

Одно уравнение с 2-мя неизвестными имеет бесконечное множество решений, т. к. одно из неизвестных можно считать свободным и назначить любым числом, а другое выразить через свободное неизвестное:

x=1/ ( ), где у ∈ R(любое рациональное число).

§3. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Множество чисел, выписанных в виде прямоугольной таблицы из (m х n) чисел, называется матрицей :

при этом числа называется элементами матрицы, произведение (m х n) – размерами матрицы. Индексы i и k обозначают соответственно номера строк и столбцов. Матрица В с элементами тех же размеров, что и А, равна матрице А тогда и только тогда когда равны соответствующие элементы обеих матриц:

А=В если

Если в матрице А размером (m x n) сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу

называемую транспонированной к А матрицей.

Матрицы одного и того же размера можно складывать результатом сложения матрицы А и В является матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: . Легко видеть, что

А+В=В+А,

(А+В)+С=А+(В+С).

Произведением числа λ на матрицу А называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. Таким образом λА=А λ.

Пример:

Найти матрицу С= λА+μВ

Если m (количество строк матрицы) равно n (количеству столбцов), матрица называется прямоугольной, а если m=n – квадратной. Квадратной матрице А можно по определенному правилу поставить в соответствие некоторое число, обозначаемое

Δ(A)=det(A)= (1.8)

Называемое определителем n-го порядка матрицы А. Правило вычисления определителя n-го порядка введем рекуррентно. Выберем в (1.8) элемент . Минором элемента определителя Δ(A) n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный в остатке после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Пример:

Алгебраическим дополнением элемента называется число

(1.9)

где i–номер строки, k- номер столбца.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраические дополнения.

Замечание 1. Доказательство теоремы разложения опускаем.

Замечание 2. От выбора строки или столбца величина не изменится, т.е при транспонировании матрицы значение ее определителя не изменится.

Для определенности возьмем первую строку, тогда:

Δ(A)= (1.10)

Данная теорема позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению суммы n определителей (n-1)-го порядка. Рассмотрим вычисление определителя 2-го порядка:

(1.11)

Определитель 3-го порядка:

(1.12)

Произведения элементов в формуле (1.12) называются членами определителя. В каждом члене определителя 3 сомножителя. Каждый член определителя содержит элементы, не принадлежащие одной строке или столбцу. Сказанное легко обобщается на определитель любого порядка. Каждый определитель содержит элементов и n! членов. Ввиду громоздкости формулы (1.12) существует ряд способов разложения определителя 3-го порядка в строку. Один из них – метод Саррюса (правило треугольников). Для составления членов определителя, выписанных со знаком «+» и «-» соответственно составим члены определителя из элементов по указанной схеме:

«-» «+»

○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○

При этом диагонали идущие сверху вниз называют главными, а снизу вверх – побочными.

Если предпочтительнее использовать теорему разложения, то вычиcление множителя для составления алгебраического дополнения удобнее выбирать по схеме:

Это чередование знаков сохраняется и для определителей более высоких порядков (для которых в основном и используется теорема разложения).

§4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

Для простоты рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка. На определители более высоких порядков они переносятся без затруднений.

1) Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, значение определителя также равно 0. Доказательство следует непосредственно из теоремы разложения:

2) При перестановке местами столбцов или строк определителя его знак меняется на противоположный. Доказательство: Поменяем местами две любые строки (для определенности первую и третью), тогда

( B соответствии со свойством 3 для определителей 2-го порядка)

3) Если определитель содержит 2 одинаковых столбца или строки, то он равен 0. Доказательство:

4) Если элементы какой либо строки (столбца) умножить на одно и тоже число к , величина определителя изменится в к раз. Доказательство:

Это свойство называется свойством однородности определителя относительно его строк (столбцов). Свойство однородности выражается равенством f(kx)=kf(x);

5) Пусть даны 2 определителя у которых все строки (столбцы) одинаковы кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей .Доказательство:

Данное свойство называется свойством аддитивности определителя относительно его строк (столбцов). Свойство аддитивности выражается равенством

Свойство, при котором одновременно выполняются свойства однородности и аддитивности, называется свойством линейности:

6) Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на одно и то же число его величина не изменится. Доказательство:

Приведенное правило позволяет производить тождественное преобразование определителя. Цель этих преобразований – получить возможно большее число нулей среди элементов строк (столбцов). Пусть надо вычислить определитель:

если все элементы 1-го столбца нули , то . Пусть не все элементы 1- го столбца равны нулю. Без ограничения общности можно считать: (т. к. в противном случае этого можно добиться перестановкой строк). Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , к третьей – первую, умноженную на , т. д. , к последней строке этого определителя добавим первую, умноженную на . Определитель не изменит своего значения и примет вид:

Если , то элементы определителя удобно находить, используя мнемоническое правило прямоугольников:

1. Единицу в левом верхнем углу объявляем ведущим элементом, а первую строку – ведущей.

2. Под ведущим элементом записываем нули в каждой строке.

3. Часть определителя справа от нулей назовем первым остатком определителя.

Элементы остатка находим, вычисляя определители 2-го порядка по одному и тому же правилу:

а) Чтобы найти искомый элемент , вычисляем определитель 2-го порядка , у которого на главной диагонали ведущий элемент и элемент, стоящий на месте искомого. Эти два элемента определяют диагональ прямоугольника.

б) Произведенные вычисления назовем 1-м шагом метода прямоугольников. С остатком определителя проводим второй шаг вычислений. Вычисления производим до тех пор, пока остаток определителя не примет вид определителя второго порядка, правило вычисления которого известно.

Пример:

Вычислить определитель Прибавим к первой строке четвертую и поменяем местами первый и четвертый столбец:

Прибавим ко второй строке первую:

§5.ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 2-Х УРАВНЕНИЙ С 3-мя НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

(1.13)

Перепишем ее в виде

(1.14) Введем обозначения

Пусть для определенности , тогда в соответствии с формулами Крамера

z- любое вещественное число (z∈ R). Для придания симметричности формулам решения положим . тогда бесконечное множество решений системы (1.13) примет вид:

;(t∈R) (1.15)

Пример:

Тогда x=-5t; y=14t; z=13t, t∈ R. Подставив эти значения в исходную систему, можно убедиться в правильности этого решения.

§6.ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ 3-го ПОРЯДКА.

Однородная система уравнений 3-го порядка имеет следующий вид:

(1.16)

Рассмотрим 2 возможных случая:

а) Δ≠0, в соответствии с формулами Крамера определители неизвестных равны 0, а следовательно x=y=z=0 т.е. тривиальное решение и оно единственно. Такие системы называют тривиально совместными.

б) Δ=0, покажем, что в этом случае кроме тривиального решения система имеет и нетривиальное решение. Для этого убедимся в том, что одно из уравнений является следствием двух других. Для определенности возьмем первые 2 уравнения системы и покажем, что общее решение такой системы автоматически удовлетворяет 3-му уравнению:

Учитывая (1.15) решение этой системы имеет вид:

(t∈ R)

Подставив его в 3-е уравнение системы (1.16), получим:

Что и требовалось доказать.

§7.НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 3-го ПОРЯДКА.

Неоднородная система уравнений 3-го порядка имеет следующий вид:

(1.17)

1) Если ∆≠0, то система (1.17) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

2) Если определитель системы ∆=0 и хотя бы один из определителей неизвестных системы не равен 0 , то система несовместна. Действительно, пусть ≠0, тогда х= /∆ - не имеет смысла.

3) Пусть , т.е. определитель системы и определители неизвестных системы равны 0. Тогда возможны 2 случая:

а) система несовместна, например

Действительно, одна и та же величина не может принимать 3 различных значения.

б) Система совместна (имеет какое-либо решение), тогда это решение не единственно.

Пусть система (1.17) имеет решение

(1.18)

Вычитая почленно из (1.17) (1.18), получим:

(1.19)

из (1.15) запишем общее решение относительно

Структура общего решения системы линейных уравнений.

Общее решение системы (1.17) складывается из общего решения однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной. Нетрудно видеть, что (1.20) охватывает все ранее встречавшиеся случаи.

1. Пусть однородная система тривиально совместна. Полагая получим тривиальное решение.

2. Пусть однородная система нетривиально совместна. Полагая

, получим множество всех решений нетривиально совместной однородной системы

3. Если система однозначно разрешима , ее решение получается из (1.20) при t=0:

4. Если система неопределенна , формулы (1.20) дают множество решений неоднородной системы.

5. Если система несовместна, для (1.20) не существуют подходящие числа

, получим множество всех решений нетривиально совместной однородной системы

II. ВЕКТОРЫ . ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ.

Вектор – неопределяемое понятие в математике, как, например, точка, прямая и т. д.

Чтобы оперировать понятием вектора необходимо ввести линейное пространство, наделенное рядом аксиом, относительно его элементов – векторов. Обозначим векторы , и введем понятие величины другой природы – скаляры - которые будем обозначать буквами , …

Назовем линейным пространством множество L, а его элементы – векторами если

I. Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам из L сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый

II. Задан закон (операция умножения на скаляр), по которому любому элементу из L и скаляру (числу) сопостовляется элемент из L, называемый произведением на и обозначаемый

III. Для любых элементов из L и для любых скаляров выполнены следующие аксиомы

1. Для двух любых элементов выполнены условия:

(свойство переместительности).

2. (свойство сочетательности).

3. Пусть λ - скаляр, - векторы, тогда: .

4. Пусть - скаляры, - вектор. Тогда

5. Пусть - скаляры, - вектор. Тогда .

6. Пусть λ=1, тогда .

7. Существует нулевой вектор , такой что .

8. Существует вектор, противоположный вектору , , такой что .

Действия, указанные в п. 1-8 называют линейными операциями над векторами. Перечисленные аксиомы определяют линейное пространство векторов, т. е. после их введения можно дать понятие вектора: вектор – это элемент линейного пространства.

В такой трактовке под понятие вектора подходят многие понятия математики:

1. Функция – легко проверить выполнимость всех аксиом.

2. Направленные отрезки (если для них ввести операцию сложения так, чтобы выполнялись аксиомы). Таким правилом может быть правило параллелограмма

или правило замыкания ломаной

Используя понятие противоположного вектора можно определить операцию вычитания векторов:

Такие векторы называют геометрическими векторами.

3. Упорядоченные множества чисел . Для таких векторов линейные операции вводят поэлементно:

Легко проверить, что для указанных векторов также выполнены аксиомы линейного пространства. В отличие от геометрических, такие векторы называют арифметическими векторами.

Легко видеть что далеко не всякое множество векторов образует линейное пространство. Например, не удовлетворяют аксиомам 1- 8.

Пусть дана система векторов (1.1). Используя линейные операции (сложение и умножение на скаляр), удовлетворяющие аксиомам (1)-(7), можно составить линейные комбинации векторов. Так вектор есть линейная комбинация системы векторов (2.1).

Cистема векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры , не все равные нулю, такие, что

(2.2)

Если соотношение (2.2) имеет место лишь в том случае, когда все равны нулю, т. е. когда , то систему векторов называют линейно независимой.

Cистема векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда какой-либо из векторов является линейной комбинацией других. По определению нулевой вектор образует систему линейно зависимых векторов. Действительно если в систему линейно независимых векторов включить , то система превратится в линейно зависимую. Пусть вектора линейно зависимы, т. е.

, перепишем это выражение в виде: (2.3)

Пусть вектора имеют вид . Тогда векторное равенство (2.3) можно записать в виде:

Два линейно-зависимых вектора на плоскости называются колинеарными . Для геометрических векторов это означает, что они параллельны одной прямой, а множитель k – коэффициент гомотетии, если k>1, вектор удлиняется, если k>-1 – вектор удлиняется, меняя направление на противоположное. Соответственно, если 0<k<1 - вектор сжимается, если -1<k<0 вектор сжимается, меняя направление .

Если - векторы неколинеарны. Два неколинеарных вектора образуют базис на плоскости. Возьмем любой вектор и подберем скаляры x и y такие, что . Тогда:

т. к. векторы неколинеарны определитель данной системы не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение и вектор можно представить единственным образом в виде линейной комбинации .

При этом величины x и y будем называть координатами вектора в базисе .

По аналогии можно ввести понятие базиса в линейном 3-х мерном пространстве: любые три линейно независимых вектора образуют базис. В произвольном n- мерном пространстве базисом называется система n линейно независимых векторов.

Возьмем для простоты и рассмотрим вектор как линейную комбинацию векторов :

- это векторное равенство эквивалентно трем уравнениям для координат векторов:

Из формул Крамера следует: если определитель системы не равен нулю - данная система имеет единственное решение, т. е. вектор
можно задать с помощью векторов единственным способом. Отсюда следует, что система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов не равен нулю.

Это легко обобщается на векторы с произвольным числом координат. С числом векторов образующих базис линейного пространства связывают понятие размерности этого пространства. Т. е. когда мы говорим, что - n-мерное линейное пространство это значит, что его базис состоит из n линейно-независимых векторов.