ПОДПРОСТРАНСТВА

Date: 2015-10-07; view: 447.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов

= + +… (1)

Множество всех векторов вида (1) называется подпространством пространства , порожденным векторами , Среди векторов, образующих подпространство имеется (получается при ). Если система векторов линейно независимая, очевидно, что любые векторы, выделенные из этой системы также линейно независимы.

Предположим, что система векторов линейно зависима, т.е., например, есть линейная комбинация остальных

= + +…+ = , подставляем в (1) получим

= + = + =

Следовательно, каждый вектор (1) представляется в виде линейной комбинации векторов , ,… т.е. подпространство, порождаемое векторами , , , совпадает с подпространством, порождаемым векторами

, ,… . Следовательно, не изменяя подпространства, можно исключить из системы порождающих его векторов всякий вектор, являющийся линейной комбинацией. Производя последовательно такое исключение можно добиться, чтобы из заданной системы , остались только линейно-независимые, порождающие то же подпространство . Таким образом, при определении подпространства можно всегда считать, что порождающие его вектора линейно независимы. Одно и тоже подпространство может порождаться различными системами линейно независимых векторов. Однако справедлива следующая теорема:

Число линейно-независимых векторов, порождающих заданное пространство, при любом их выборе – одно и тоже.

Равномерностью подпространства называется число порождающих его линейно независимых векторов, порождающих векторов данное подпространство, называется его базисом. Данное понятие аналогичным образом можно обобщить и не пространство.