Критерий совместности систем линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 499.

Результаты полученные в векторной алгебре позволяют глубже исследовать системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему

(в общем случае )

Обозначим через А матрицу из коэффициентов системы, а через - матрицу, полученную из А присоединением столбца свободных членов. Далее обозначив через столбцы матрицы системы, через - столбец свободных членов. Система (1) равносильна векторному уравнению

Введем понятие ранга матрицы. Под рангом матрицы понимается ранг системы векторов, образующих ее столбцы. Можно показать, что ранг системы векторов-столбцов всегда равен рангу систем векторов-строк. Другими словами ранг матрицы равен числу линейно-независимых столбцов (строк) через которые можно выразить остальные столбцы (строки) системы.

Ранг матрицы является одной из важнейших ее характеристик. Поэтому необходимо знать простые способы вычисления ранга. Одним из таких способов является метод Гаусса. Он основан на элементарных преобразованиях матриц. Под элементарными преобразованиями мы понимаем:

1) вычеркивание нулевой строки (столбца)

2) прибавление к одному из строк другой строки, умноженной на любое число

3) перестановка строк (столбцов)

Идея метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований заданная матрица приводится к виду

В котором все «диагональные» элементы отличны от 0, а элементы, расположенные ниже «диагонали» равны нулю. Справедлива следующая теорема: Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Рассмотрим систему вектор строк ступенчатой матрицы

Рассмотрим вектор , являющийся линейной комбинацией векторов(*)

= + +…

Предположим, что . Первая координата есть если она равна 0, то (т.к. ), тогда вторая координата есть если и она равна 0 то ввиду и т.д. в итоге получим: только в случае это означает, что система вектор-строк ступенчатой матрицы равна rang (А)=r.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду будем использовать ранее рассмотренное правило прямоугольников.

Пример: найти ранг матрицы

Прежде всего условимся, что если в процессе элементарных преобразований появляется нулевая строка то она сразу отбрасывается. Таким образом, в любой из оставшихся строк имеется хотя бы один не нулевой элемент который можно с помощью перестановки столбцов вывести на «диагональ».

 

Вычеркиваем 3-ю строку. 3-й элемент в последней строке равен нулю, поэтому переставим местами 3-ю и 5-ю строку. Получим ступенчатую матрицу.

Ранг полученной матрицы равен 3 следовательно и ранг исходной матрицы равен 3.