Теорема Кронекера-Капелли

Date: 2015-10-07; view: 522.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: пусть система (1) совместна, т.е. имеет решение . Это решение будет также решением векторного уравнения из данного равенства свидетельствует, что линейно выражается через вектора . Следовательно не нарушая ранга системы векторных столбцов расширенной матрицы мы можем удалить из нее . Тогда получим матрицы А – таким образом .

Обратно если , то в матрице должен существовать по крайней мере один минор n-го порядка отличный от 0. Этот определитель будет очевидно и . Без ограничения общности можно допустить, что находится в левом верхнем углу матриц и ( в противном случае этого можно добиться перестановкой строк и столбцов). Тогда первые строк матриц и будут линейно независимы, а остальные будут линейно выражаться через них. Поэтому можно ограничиться первыми уравнениями.

Рассмотрим два возможных случая:

а) число уравнений равно числу неизвестных причем определитель этой системы тогда система имеет единственное решение определяемое по формулам Крамера;

б) (число уравнений меньше числа неизвестных).

Перенесем неизвестные которые называют свободные получим

Данную систему можно разрешить относительно и придавая свободным неизвестным произвольные значения получим соответствующие значения . Таким образом для случая система имеет бесконечное множество решений.

Решения получаемые при придании свободным переменным нулевых значений называется базисными. Термины базисное решение отражает тот факт, что столбцы матрицы с 1-го по 2 образуют базис пространства .