Процесс ортонормирования базиса

Date: 2015-10-07; view: 1084.

Во всяком пространстве (разностью больше 0) существует ортонормированный базис. Если ,- произвольный базис подпространства L, то в L существует ортонормированный базис, состоящий из векторов вида:

Сначала строится ортогональный базис вида

Которые определяются последовательно, для этого нужно подобрать коэффициенты так, чтобы было соблюдено требование ортогональности векторов , т.е.

Если все коэффициенты определить по этой формуле, то векторы , ,… будут попарно ортогональны.

Положим и вектора попарно ортогональны.

Данный процесс построения векторов или называется процессом ортогональности системы векторов

Пример:

тогда

Пронормируем полученные вектора, т.е. заменим векторы на

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

Векторным произведением векторов называется вектор , который обозначается , удовлетворяющий следующим условиям :

1. Это значит, что вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, образованного векторами .

2. Длина вектора численно равна площади этого параллелограмма, т. е. (Не путать это условие с определением вектора!!!)

3. Кратчайший обход векторов из конца вектора виден против часовой стрелки.

Замечание. Векторы , удовлетворяющие условию 3 образуют правую тройку векторов. В приложениях иногда вводят левую тройку(т. е. определяют положительный обход по часовой стрелке).

Геометрическая интерпретация векторного произведения.

Для геометрических векторов: при построении вектора совмещаем начала векторов ; достраиваем векторы до параллелограмма и восстанавливаем к его плоскости перпендикуляр. На нем откладываем вектор так чтобы:

а) Три вектора образовывали правую тройку.

б) Считаем (условно), что длина искомого вектора выражается тем же числом , что и площадь параллелограмма.

Рассмотрим формулы перемножения орт по правилу векторного произведения. При этом положительным будет обход в последовательности , а отрицательным - . Это значит, что . Очевидно, что это свойство выполняется на любую пару векторов. т. е. . Это свойство называют свойством антикоммутативности. Остальные свойства совпадают со свойствами скалярного произведения. Это означает, что линейные комбинации также можно перемножать по правилу «многочлен на многочлен», но при этом необходимо следить за порядком сомножителей. При этом полезно использовать следующее правило:

«+»

Запишем строку i, j, k, i, j, k, ….

«-»

Двигаясь по строке слева направо , получаем результат векторного умножения двух орт. Например:

и т. д.

Пусть требуется перемножить векторы . Запишем их в виде линейной комбинации:

Имеем:

Учитывая, что , получим:

(2.9)

Учитывая теорему разложения, получим легко запоминающуюся формулу:

(2.10)

При решении задач нужно чаще нужно находить координаты вектора по координатам векторов Из (2.9) имеем:

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Рассмотрим три вектора . Перемножив по правилу векторного произведения, получим новый вектор. Умножив его на по правилу скалярного произведения, получим число, называемое смешанным произведением векторов . Выведем формулу смешанного произведения:

;

Перемножая скалярно, получим:

(2.11);

Геометрическая интерпретация смешанного произведения произведения .

Из векторного произведения имеем , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах , причем . Перемножим скалярно векторы :

Построим параллелепипед на векторах . По смыслу - площадь основания, а - высота этого параллелепипеда . Таким образом, смешанное произведение трех векторов выражает численно объем параллелепипеда, построенного на векторах – сомножителях. Т. к. последовательность ребер можно менять (не нарушая правой ориентации векторов), т ( . Поэтому, не указывая, какие векторы умножаются скалярно, а какие векторно, можно смешанное произведение записать в виде .

Из свойств определителя и формулы (2.11) следует, что

1. и т. д. Т. е. смешанное произведение дает величину объема параллелепипеда со знаком «+» или «-» в зависимости от ориентации векторов-сомножителей. Поэтому формулу объема параллелепипеда, построенного на векторах- сомножителях надо записывать в виде: .

2. Пусть Тогда .

3. Пусть . Геометрически это означает, что параллелепипед, построенный на этих векторах имеет нулевой объем, т. е. данные векторы расположены в одной плоскости. Векторы параллельные одной плоскости называют компланарными . Таким образом - условие компланарности векторов. Очевидно, что такие векторы линейно зависимы в . Если , то векторы линейно независимы и, следовательно они образуют базис в .

4. Формулы Крамера. Запишем систему

В векторной форме:

где

Умножим скалярно на :

Аналогично можно получить формулы

III. АЛГЕБРА МАТРИЦ.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Коэффициенты при неизвестных системы (3.1) имеют вид матрицы:

Неизвестные i=1,…,n и свободные члены j=1,…,m можно рассматривать как координаты векторов или как одностолбцовые матрицы:

Левую часть системы можно рассматривать либо как произведение матрицы А на вектор , либо как произведение матрицы А на матрицу Х. Принимая равенство матриц поэлементно, либо равенство векторов покоординатно, систему (3.1) можно записать либо в векторно-матричном виде

(3.3)

либо в матричном виде

АХ=В (3.4)

Истолкование системы (3.1) в виде (3.3) или (3.4) зависит от того, что выражает система (3.1) как математическая модель и какую задачу решает.

Легко видеть, что умножение матрицы на вектор или матрицу Х можно выполнить лишь тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце множителя-матрицы, или размерности вектора . При этом число столбцов матрицы множителя может быть меньше одного. В этом случае надо поочередно умножать матрицу А на столбцы матрицы В. Таким образом, можно перемножать лишь матрицы А размерности (m x n) на матрицы В размерности (n x k). В результате получается матрица С размерности (m x k), называемая произведением матриц А и В и обозначается С=АВ, элементы которой получаются в результате скалярного умножения i-й строки матрицы А и j- го столбца матрицы В т. е. :

Пример: найти произведение матриц А и В

Из правила умножения матриц видно, что если существует АВ, то это еще не значит, что существует ВА. Для квадратных матриц (n x n) существуют АВ и ВА, но, как правило, АВ ВА.

Отметим также следующие свойства матричного умножения:

1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. А(ВС)=(АВ)С

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. (А+В)С=АВ+ВС, С(А+В)=СА+СВ

3. λ(АВ)=(λА)В

4. Матрицу А можно умножать саму на себя ( только в том случае , если она квадратная) при этом:

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Рассмотрим матричное уравнение (3.4):

АХ=В

В скалярном случае оно имеет вид ax=b, откуда x=b/a или x= . По аналогии для (3.4) запишем:

(3.5)

Пусть матричному уравнению (3.4) соответствует система :

Если , то система однозначно разрешима и ее решение можно найти по формулам Крамера:

Аналогично найдем :

Это решение можно записать в виде:

(3.6)

Сравнивая (3.5) с (3.6), устанавливаем аналитическое выражение для :

(3.7)

Матрица называется обратной матрицей матрицы А, а формула (3.7) дает правило ее построения: чтобы найти матрицу , обратную матрице А, необходимо:

1. Транспонировать матрицу А.

2. Заменить элементы матрицы ее алгебраическими дополнениями, деленными на detA.

Замечание. Если определитель матрицы равен нулю, то не существует. Такие матрицы называются вырожденными. Поэтому построение матрицы следует начинать с вычисления определителя, чтобы убедиться, что .

Решение, найденное по (3.6) называют матричным способом решения системы. Он оправдан для задач, в которых рассматривается серия систем . Для единичной системы он более трудоемкий, чем, например, метод Гаусса.

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ.

Рассмотрим векторно-матричное уравнение

(3.8)

Это равенство можно рассматривать как отображение

т. е. равенство (3.8) аналогично функциональной зависимости y=f(x), определяющее отображение

X Y с областью определения x или D(x) к множествам значений y или E(x). Множества D(x) и E(x) состоят из вещественных чисел. В отличие от этого в отображении (3.8) областями определения и областями значений , называемых соответственно множество преобразований и множество образов, являются векторы из некоторых линейных пространств . Поэтому соотношение (3.8) можно рассматривать как отображение пространства .

(3.9)

Если матрица А квадратная, то m=n – размерности совпадают .В этом случае говорят, что (3.9) отображает отображение в себя:

В этом случае в (3.8) вектор и вектор .

Во многих приложения большой интерес имеет случай, когда в отображении (3.8) векторы колинеарны, т. е. . В этом случае вектор называется собственным вектором матрицы А и может быть найден из уравнения

(3.10)

Скаляр называется собственным числом, соответствующим вектору . Можно первичным считать собственные числа с соответствующими им векторами . Поэтому частотпросто говорят о собственных числах и собственных векторах матрицы. Рассмотрим задачу о нахождении собственных чисел и собственных векторов матрицы А.

В этом случае векторно-матричному уравнению (3.10) соответствует система:

или:

(3.11)

Система (3.11) нетривиально совместна тогда и только тогда, когда ее определитель =0, или

(3.12)

Уравнение (3.12) называется характеристическим уравнением, соответствующим матрице А. В матричном виде оно имеет вид:

(3.13)

Если разложить определитель (3.12) в строку, то получим кубическое уравнение:

(3.14)

Легко проверить, что имеют место равенства:

. Величину также называют следом матрицы и обозначают

Совокупность всех собственных чисел называется спектром матрицы А. В соответствии с теоремой Виета:

Найдя корни уравнения (3.14), поочередно подставим их в систему (3.11) и запишем решения по известным формулам однородной системы: так для имеем:

Мы получили первый собственный вектор матрицы А - , аналогично находим

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

Рассмотрим прямой круговой конус, являющийся частью конической поверхности, образованной вращением прямой, называемой образующей, так, что одна ее точка – вершина конуса остается неподвижной, а другая – скользит вдоль окружности, называемой направляющей. Обозначим образующую конуса через l, а высоту через h. Проведем следующие сечения конуса:

1. Перпендикулярно h – оси конуса.

2. Параллельно образующей l.

3. Параллельно h.

4. Под углом φ по отношению к h.

Сечение (1) есть окружность, например основание конуса.

Сечение (2) есть парабола.

Сечение (3) есть ветвь гиперболы.

Сечение (4) есть эллипс.

Эти линии исчерпывают все возможные сечения конической поверхности. Выведем в системе координат OXY простейшие, или канонические уравнения этих линий.

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная.

Из определения эллипса можно вычертить его следующим образом. Возьмем окружность в виде нерастяжимой нити. Воткнем булавки в точки ; Натянем карандашом нить так, чтобы образовался . Оставляя натянутой нить будем перемещать подвижную точку М. Ее траектория и будет эллипсом.

М(x,y)

Поместим теперь эту конструкцию в декартову систему координат OXY так, чтобы эллипс был симметричен осям координат. Обозначим - фокусное расстояние. Тогда координаты фокусов равны и . Пусть точка М(x,y) с текущими координатами перемещается так, чтобы , где - левый фокальный радиус-вектор, а - правый. Найдем длины :

Возведя в квадрат, получим:

Откуда . Еще раз возведем в квадрат:

Т. к. в , то a>c. Обозначим

Поделив равенство на , получим каноническое уравнение эллипса:

(5.1)

Найдем точки пересечения эллипса с осями. Пусть у=0, тогда х= ; если х=0, то у= . Эти точки (-а,0); (а,0); (0,b); (0,-b) называют вершинами эллипса, а отрезки, соединяющие противоположные вершины – осями.

2а – большая ось эллипса, а - большая полуось;

2b –малая ось эллипса, b - малая полуось;

2с – фокусное расстояние. Эти величины связаны соотношением:

(5.2)

Уравнения фокальных радиусов эллипса имеют вид:

Приведем эти уравнения к более простому виду. Имеем: .

Присоединив уравнение =2а, получим систему:

Отсюда имеем :

. Обозначим: . Тогда уравнения фокальных радиусов эллипса принимают вид: . Величина называется эксцентриситетом эллипса. При с=0, и эллипс вырождается в окружность, а при увеличении эксцентриситета эллипс вытягивается вдоль большой оси.

Директрисы эллипса.

Рассмотрим уравнение эллипса:

и уравнение прямой х=m. Обозначим

через d расстояние любой точки эллипса

от этой прямой.

Рассмотрим отношение:

пусть тогда . Таким образом, отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой не зависит от положения точки на эллипсе. Прямая , обладающая этим свойством, называется директрисой эллипса. Очевидно, эллипс имеет две директрисы: правую и левую .

Параметрическое уравнение эллипса.

Рассмотрим две окружности с радиусами a>b с центром в начале координат и радиус-вектор ОА, пересекающий окружности в точках А и В перпендикулярно к осям OX и OY соответственно до пересечения их в точке М. Будем вращать радиус ОА в положительном направлении начиная от положения на оси OX . При повороте на угол t координаты точки М равны: x=acost y=bsint. Действительно, исключив параметр t из системы:

Получили каноническое уравнение эллипса.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

М(x,y)

Пусть и - фокусы гиперболы. По определению = const. Примем =2а. Проделав выкладки, аналолгичные выкладкам при выводе канонического уравнения эллипса, с учетом того, что c>a , получим каноническое уравнение гиперболы:

(5.3)

Полагая у=0, получим , х=0 , . Величины 2а и 2b называют соответственно вещественной и мнимой осями гиперболы, а а и b - ее полуосями.

Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой L графика функции y=f(x), если расстояние между точками l иL стремится к нулю при неограниченном удалении графика от начала координат.

Запишем уравнение гиперболы в виде:

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

Рассмотрим разность

Числитель дроби – число. Знаменатель стремится к если , значит при т. е. графики гиперболы и прямой неограниченно сближаются. Существование асимптот доказано. Зная полуоси гиперболы можно вычертить ее ветви следующим образом:

1. Проведем прямые и .

2. В образовавшемся прямоугольнике проведем прямые, проходящие через его диагонали.

Через вершины (a,0); (-a,0) проведем ветви гиперболы, асимптотически приближающиеся к прямым .

Замечание. Для построения эллипса также полезно построить указанный прямоугольник. Но кривую эллипса надо вписать в этот прямоугольник.

Фокальные радиусы и директрисы гиперболы.

Повторяя выкладки, проведенные для эллипса, легко получаем уравнения фокальных радиусов :

- правый радиус;

- левый радиус; а также уравнения директрис:

- правая директриса;

- левая директриса;

Здесь , т. к c>a.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Пусть директриса l и фокус F удалены от начала координат, и директриса перпендикулярна оси ОХ. Если расстояние между фокусом и директрисой равно p, то уравнение директрисы , координаты фокуса F . Возьмем точку M(x,y) с текущими координатами. Обозначим (M,F)=r, (M,l)=d, по определению r=d. Имеем:

Это и есть каноническое уравнение параболы. Можно получить еще канонические уравнения парабол, проходящих через начало координат:

Точка (0,0) для данных парабол будет общей. Ее называют вершиной, из вершины выходят линии, симметричные полуосям координат, называемые ветвями парабол.

Для параболы ее ветви направлены вверх.

Для параболы ее ветви направлены вниз.

Для параболы ее ветви направлены вправо.

Для параболы ее ветви направлены влево.

В отличие от гиперболы и эллипса, имеющих центр симметрии, парабола центра симметрии не имеет. Поэтому эллипс и гиперболу

называют кривыми центрального типа, а параболу - кривой нецентрального типа.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

В декартовых координатах положение точки на плоскости фиксируется перпендикулярами, проведенными из точек х и у, к осям координат.

M(r, φ)

y x

В полярных координатах на плоскости задан луч, выходящий из полюса. Длина радиуса на луче принимает значения . При повороте радиуса на угол φ его конец опишет дугу окружности радиуса r. Угол φ может принимать значения φ . Так как луч и дуга могут пересекаться в единственной точке, то величины r и φ фиксируют на плоскости единственную точку М(r, φ). Если за полярную ось принять полуось ОХ. То между декартовыми и полярными координатами можно установить взаимосвязь:

(5.5)

Соотношения (5.5) можно считать формулами перехода от полярных координат к декартовым и обратно.

Сформулируем единое определение конических сечений. Эллипсом, гиперболой, параболой, называется геометрическое место точек, для которых отношение от данной точки, называемой фокусом, до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная называемая эксцентриситетом. Выведем исходя из этого определения общее уравнение кривых.

M(φ,r)

Проведем из полюса О перпендикуляр до пересечения с кривой в точке С. Примем ОС=р в качестве параметра кривой. Пусть АМ=d. По определению , АМ=АВ+ВМ=DC+BM. Но ВМ=rcosφ, (по определению). Имеем или r=p+εrcosφ, r(1-εcosφ)=p. Окончательно имеем : (5.6) .

Исследуем форму кривой (5.6) в зависимости от эксцентриситета ε.

Если ε=0, то r=p. Это уравнение окружности радиуса р с центром в полюсе полярной системы координат (oφr). Если 0< ε<1, то знаменатель 1- εcosφ , т.к. cos , а . При всех r существует и конечен. Уравнение (5.6) в данном случае определяет эллипс.

Если ε=1, то 1-cosφ=0, при φ=0. Значит при . Одна из вершин эллипса уходит в бесконечность, т. е. эллипс разрывается и вырождается в параболу. Если

ε>1 , то 1-εcosφ=0 при Это соотношение определяет два луча , вдоль которых . Кривая представляет собой гиперболу, а лучи являются ее асимптотами.

Общее уравнение кривой второго порядка.

Рассмотрим уравнение:

(5.7)

Здесь множители 2 введены для удобства.

Введем обозначения: .

Тогда уравнение (5.7) примет вид:

Ф(х,у)+L(x,y)+ =0 (5.8)

Ф(х,у) называют квадратичной формой, а L(x,y) – линейной формой.

Уравнения (5.7)- (5.8) определяют некоторую кривую в системе координат в OXY, которой соответствует ортонормированный базис . Поставим задачу отыскания такой системы координат , т. е. нового базиса чтобы уравнение кривой в новой системе координат имело простейший, или канонический вид. Задачу будем решать в два этапа.

1. Найдем промежуточную систему координат, в которой будет отсутствовать линейная форма L(x,y). Этого можно достичь параллельным переносом осей координат: . Имеем:

После преобразований получим:

Подберем так, чтобы скобки при обращались в ноль:

Числа являются решением системы, уравнения которой получают дифференцированием уравнения (5.7) сначала по х, а потом по у с последующим сокращением на 2:

(5.9)

Если , то система (5.9) имеет единственное решение и уравнение (5.7) принимает вид:

(5.10)

Где , т. е. является результатом подстановки в уравнение (5.7) решения системы (5.9) .Обозначим и займемся изучением квадратичной формы

(5.11)

Уравнение (5.10) не изменится при замене х на –х и у на –у. Поэтому кривая, определяемая этим уравнением называется кривой центрального типа. Геометрический смысл преобразований состоит в том, что начало системы координат совпадает с центром симметрии кривой.

Если определитель системы (5.9) , то система не имеет решения, а кривая, определяемая уравнением (5.7) не имеет центра симметрии. Такие кривые называют кривыми нецентрального, или параболического типа .

Перепишем уравнение (5.11) в виде:

Обозначим (5.12)

Тогда форма (5.11) примет вид:

(5.13)

Будем считать (х, у) и координатами векторов . Равенство (5.13) примет вид:

Из системы (5.12) следует, что связаны равенством:

(5.14)

Теперь квадратичную форму можно записать в векторно-матричном виде относительно базиса :

(5.15)

Пусть задан новый базис . Разложим вектор по этому базису . Очевидно , квадратичная форма f в этом базисе будет иметь другой вид. Выберем качестве базиса единичные собственные векторы матрицы А. Особенностью этой матрицы является то, что ее элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны. Такие матрицы называют симметричными, а преобразования плоскости, осуществляемые по формулам (5.12) – симметричными.

Покажем, что матрица А квадратичной формы (5.14) всегда имеет вещественные различные собственные числа, а соответствующие им собственные вектора ортогональны. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:

(5.16)

Дискриминант трехчлена (5.16) имеет вид:

Откуда следует, что вещественны и различны.

Для доказательства ортогональности собственных векторов матрицы А проверим предварительно равенство , где - некоторые вектора.

, или в векторной записи.

Аналогично имеем:

Сравним величины :

Т. к. правые части равны, равны и левые.

Замечание: Доказанное свойство имеет место и для несимметричной матрицы, но оно имеет вид .

Пусть собственные числа квадратичной формы, а соответствующие им собственные вектора.

Вычитая равенства получим: . Т. к. , то =0. Следовательно, .

Таким образом, векторы можно принять в качестве ортонормированного базиса.

Запишем вектор квадратичной формы в базисе . Подставляя в (5.15), получим:

Таким образом, Ф(х,у)= = , т. е. в новом базисе, построенном из собственных векторов матрицы А квадратичная форма имеет канонический вид.

СХЕМА ПРИВЕДЕНИЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ 2-го К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.

Выполним с общим уравнением

(5.17)

следующие операции:

1. Продифференцируем по х и по у уравнение, и, сократив равенства на 2, запишем из них систему:

Если , то найдем решение . Параллельным переносом осей координат OX и OY получим новые оси с началом в точке .

2. Запишем уравнение (5.17) в новой системе координат:

(5.18)

где

3. Составим матрицу квадратичной формы (5.18) и найдем ее собственные числа и собственные вектора .

4. Пронормировав собственные вектора , получим базис Изобразим базис в базисе . Нумерацию надо выбирать так, чтобы базис получался из базиса кратчайшим вращением в плоскости относительно центра .

5. Изобразим систему координат , соответствующую новому базису .

6. Запишем квадратичную форму в виде .

7. а) Если знаменатели отрицательны, то уравнение (5.17) определяет мнимое место точек (мнимый эллипс) ; при - точку.

б) Если знаменатели положительны, то, полагая , получаем каноническое уравнение эллипса , по которому вычерчиваем кривую в системе координат .

в) Если , то приходим к уравнению гиперболы и вычерчиваем ее в новой системе координат. Если , то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ КРИВОЙ НЕЦЕНТРАЛЬНОГО ТИПА.

Пусть определитель матрицы квадратичной формы Δ(А)=0. Это значит, что квадратичная форма есть точный квадрат. Действительно . Квадратичная форма имеет вид :

. Общее уравнение кривой можно записать в виде:

(5.19)

Характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы имеет вид:

Пусть - единичные собственные вектора, соответствующие собственным числам , координаты которых находим из системы:

Пусть эти координаты соответственно равны: . Переходя к новым координатам по формулам :

Получим вместо (5.19) уравнение :

, которое можно преобразовать к виду:

Заменив , уравнению можно придать форму , которое представляет каноническое уравнение параболы.

Замечание. Так как в нумерации собственных чисел возможна ошибка, отчего может быть неправильный выбор направления осей координат , то полезно найти точки пересечения кривой со старыми осями координат:

1. Имеем 2 точки пересечения

2. Имеем 2 точки пересечения

Эти опорные точки кривых помогают уточнить их расположение в системе координат OXY.

IV.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы: точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка. Основными средствами изучения геометрических объектов являются метод координат, элементарная, векторная и линейная алгебра.

Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что на плоскости вводится прямоугольная система координат, состоящая из двух перпендикулярных прямых с указанным на них направлением и единицей масштаба. Такие прямые называют осями координат: ОХ ось абцисс и ось ОY – ось ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе координат OXY определяется проекциями точки М на оси, а числа x и y, равные длинам отрезков , называются координатами точки М в системе OXY.

Для обозначения точки М с абциссой x и ординатой y используют символ М(х,у). На координатной плоскости ОХY можно задать линию L соотношением вида F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты любой точки М, расположенной на L и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на L.

Идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путем изучения алгебраическими средствами уравнения F(x,y)=0. Например, вопрос о количестве точек пересечения линий, заданных уравнениями сводится к вопросу о количестве решений системы этих уравнений.

В аналитической геометрии в пространстве декартовы прямоугольные координаты вводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждую поверхность S можно сопоставить с уравнением F(x,y,z)=0. Два уравнения , рассматриваемые совместно, задают линию L как линию пересечения поверхностей , соответствующих этим уравнениям. Например, прямую L можно рассматривать как линию пересечения плоскостей .

Переменные x и y уравнения F(x,y)=0 и x, y, z уравнения F(x,y,z)=0 называют текущими координатами соответственно линни L и поверхности S.

При изучении аналитической геометрии на плоскости (планиметрии) и аналитической геометрии в пространстве (стереометрии) сначала изучим стереометрию, т. к. для получения большинства соотношений планиметрии достаточно положить значение z (аппликаты) равным нулю. Хотя изучаемые геометрические образы предполагаются заданными в системе координат, во многих случаях изображение системы координат будем опускать, указывая лишь координаты точек и т. д.

При решении многих задач, например, при рассмотрении многоугольников, многогранников удобно стороны многоугольников и ребра многогранников рассматривать в виде векторов, а затем использовать соотношения, полученные в векторной алгебре.

Пример. Тетраэдр ABCD задан координатами вершин Найти 1) длину ребра АВ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) длину высоты DO; 6) координаты точки М|, делящей ребро АВ в отношении АМ:МВ=λ.

А O

Решение.

1. Принимая ребро АВ за вектор , найдем его координаты: Теперь имеем:

2. Примем ребро АС за вектор Имеем Учитывая, что АВС можно достроить до параллелограмма вдвое большей площади, которая численно равна получим Так как , то

3. Введем в рассмотрение векторы

4. Объем параллелепипеда в 6 раз больше объема тетраэдра, построенного на этих же векторах. Значит найдем координаты вектора . Отсюда и из формулы смешанного произведения векторов имеем: Если образуют левую тройку, тогда надо брать . Если V=0, то векторы - компланарны, т. е. А, В, С, D лежат в одной плоскости.

5. Из формулы имеем .

6. Рассмотрим векторы , являющиеся коллинеарными. Т. к. . Найдя координаты векторов , запишем вместо одного векторного равенства систему трех скалярных равенств:

откуда:

(4.1)

Формулы (4.1) определяют координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

ПЛОСКОСТЬ. ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Из аксиом геометрии известно, что три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость.

Пусть заданы точки , расположенные в плоскости R . Возьмем точку M(x, y, z) с текущими координатами x, y, z , которые изменяются так, что точка М остается в плоскости R ( ). Рассмотрим векторы

Т. к. , то векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю:

=0 (4.2)

Соотношение (4.2) называют уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Разложив определитель по первой строке получим:

(4.3)

где А= В= С=

Легко убедиться в том, что А, В, С есть не что иное, как координаты вектора, являющегося векторным произведением . Запишем (4.3) в виде:

Ax+By+Cz- и обозначим

Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Ax+By+Cz+D=0 (4.4)

Уравнение (4.3) называют уравнением плоскости, проходящей через одну точку, а при переменных А, В и С уравнением связки плоскостей. Уравнение (4.4) называют общим уравнением плоскости. Это основной способ задания плоскости в пространстве с декартовой системой координат OXYZ. Из определения векторного произведения следует, что вектор перпендикулярен плоскости R. Поэтому вектор = (А, В, С) , где А, В, С – коэффициенты при x, y, z в общем уравнении плоскости (4.4) называется нормальным вектором плоскости. Нормальный вектор плоскости определяет расположение в пространстве множества параллельных плоскостей. Примем в качестве нормального вектора вектор единичной длины: = =( ), где - направляющие косинусы вектора . Пусть р – расстояние от плоскости до начала координат. Возьмем на плоскости R точку M(x, y, z) c текущими координатами. Радиус-вектор имеет те же координаты. Назовем его текущим радиус-вектором. При любом расположении этого вектора ( )= =р. Из формулы скалярного произведения имеем или

(4.5)

Уравнение (4.5) называется нормальным уравнением плоскости.

О М R

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ.

Перепишем уравнение плоскости в Ax+By+Cz+D=0 в виде или обозначим Тогда уравнение плоскости примет вид:

(4.6)

Уравнение (4.6) называют уравнением плоскости в отрезках. Выясним геометрический смысл параметров a, b, и с. Пусть y=z=0, тогда x=a; т. е. точка А(а,0,0) есть точка пересечения плоскости с осью ОХ. Аналогично устанавливаем, что точки В(о, b, 0) и С(0, 0, с) являются точками пересечения плоскости с осями OY и OZ. Прямые, по которым плоскость R пересекает координатные плоскости, называют следами плоскости в системе координат. Они помогают наглядному представлению о расположении плоскости относительно системы координат.

Пример : изобразить плоскость 4x-3y+6z-12=0 в системе координат OXYZ.

! ! ! ! Z

Приведем общее уравнение плоскости к уравнению плоскости в отрезках:

; отложим числа 3;-4;2 на осях координат и, соединяя их получаем следы плоскости. Эти следы и позволяют представить расположение плоскости , т. е. считать их расположением плоскости.

НЕПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть в общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 свободный член отсутствует, т. е. уравнение имеет вид : Ax+By+Cz=0. Т. к. этому уравнению удовлетворяет решение (0, 0, 0), то плоскость проходит через начало координат.

Рассмотрим теперь такое неполное уравнение плоскости: By+Cz+D=0. Нормальный вектор этой плоскости =(0, В, С) расположен в координатной плоскости OYZ. Следовательно, легко доказать отсутствие в общем уравнении плоскости текущей координаты x означает, что плоскость параллельна оси ОХ. Аналогичный смысл имеет отсутствие в общем уравнении плоскости текущих координат y и z.

Если в уравнении плоскости отсутствует еще и свободный член D , т. е. плоскость проходит через начало координат, то она не просто параллельна координатным осям, а проходит через эти оси. Пусть в общем уравнении плоскости отсутствуют две текущие координаты. Например, А=0 и В=0, т. е плоскость имеет уравнение Сz+D=0 или z= . Нормальный вектор плоскости z=m имеет координаты (0, 0, 1). Вектор =(0, 0, 1) расположен на оси OZ.

Y .

Рассмотрев плоскости Ax+D=0, By+D=0 приходим к выводу: если в неполном уравнении плоскости присутствует одна текущая координата, то плоскость перпендикулярна той оси, текущая координата которой присутствует в уравнении плоскости. Простейшие уравнения x=0, y=0, z=0 определяют уравнения самих координатных плоскостей:

x=0 определяет плокостьOYZ

y=0 определяет плокостьOXZ

z=0 определяет плокостьOXY.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛСКОСТЕЙ.

Рассмотрим плоскости , заданные уравнениями:

Угол между этими плоскостями вполне определяется углом между их нормальными векторами . Изобразим плоскости в виде ортогональной проекции на плоскость чертежа. Тогда их следы и нормальные векторы можно считать расположенными в плоскости чертежа:

Из свойств углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что угол равен либо , либо , где - один из вертикальных углов, образованных пересечением плоскостей . Чтобы двугранный угол был острым, возьмем . Тогда получим формулу:

(4.7)

позволяющую найти угол между плоскостями .

Если то , и мы получаем условие перпендикулярности двух плоскостей:

Если плоскости параллельны, то вектора колинеарны, т. е.:

(4.8)

Это условие параллельности . Если (4.8) равно , то плоскости совпадают (сливаются в одну).

Если плоскости параллельны, то можно поставить задачу о нахождении расстояния между ними, т. е. величины . Для решения этой задачи приведем к нормальному виду: . Знак «+» или «-» берется противоположным свободным членам . При этом если знаки перед скобками совпадают, то плоскости расположены по одну сторону от начала координат и тогда ; если знаки перед скобками различны, то плоскости расположены по разные стороны от начала координат и тогда ; Обе формулы можно записать :

Где ) – расстояние между параллельными плоскостями.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ.

Рассмотрим плоскость R: Ax+By+Cz+D=0 и точку . Если , то координаты точки М удовлетворяют уравнению плоскости R: , если ,то М . Поставим задачу нахождения величины удаления точки М от плоскости R. Заключим точку М в плоскость . Нормальные уравнения плоскостей R и имеют вид:

Знак “+” означает, что начало координат и точка М расположены по одну сторону от плоскости R, а знак «-» означает, что М и R расположены по разные стороны плоскости. Т. к. М , то или (4.9)

Т. к. , то удобнее записать в виде:

(4.10)

Формулу (4.10) называют формулой расстояния от точки до плоскости.

Пример:

Найти расстояние точки (2,5,-3) от плоскости 2x-y+2z+6=0.

Решение:

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Из элементарной геометрии известно, что можно провести единственную прямую

1. Через две точки.

2. Через данную точку параллельно данной прямой.

3. Через данную точку перпендикулярно данной плоскости.

4. Две данные пересекающиеся плоскости определяют единственную прямую – линию их пересечения и т. д.

Для эффективного использования формул векторной алгебры при изучении прямых в пространстве прямую l удобно задавать с помощью точки , через которую она проходит параллельно вектору (m,n,p), называемому направляющим вектором прямой l. Пусть заданы в системе координат OXYZ. Возьмем на прямой l точку М(x,y,z) с текущими координатами и рассмотрим радиус-векторы Вектор колинеарен вектору (m,n,p). Поэтому . Это векторное равенство эквивалентно систем трех скалярных равенств:

(4.11)

Уравнения (4.11) называют параметрическими уравнениями прямой:

Исключим из (4.11) параметр t:

(4.12)

Соотношение (4.12) является системой двух уравнений с тремя неизвестными. Двойное равенство можно расчленить, например:

Уравнения этой системы есть неполные уравнения плоскости. Уравнение (а) определяет плоскость, перпендикулярную координатной плоскости XOY, а уравнение (б) – плоскости YOZ. Прямая l есть линия пересечения этих плоскостей, называемых проектирующими плоскостями прямой l на координатные плоскости. Очевидно, что пары проектирующих плоскостей можно составить и по-другому.

Уравнения (4.12) называют каноническими уравнениями прямой.

Рассмотрим частные случаи расположения прямой l относительно системы координат OXYZ. Пусть l║ OXY; тогда направляющий вектор =(m, n, 0). Из параметрических уравнений прямой имеем :

Позволим себе в третьем уравнении поделить на ноль. Тогда канонические уравнения прямой примут вид:

В этом случае канонические уравнения определяют прямую, перпендикулярную оси OZ. Прямая, параллельная оси OZ, имеет канонические уравнения:

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.

Общими уравнениями прямой называется система :

(4.13)

Каждое из уравнений системы есть общее уравнение плоскости. Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются на прямой, проходящей через эту точку. Множество точек (x, y, z), координаты которых удовлетворяют уравнениям плоскостей системы (4.13) определяют эту прямую l.

При решении задач часто возникает необходимость преобразовать общие уравнения прямой (4.13) к каноническому виду

Для этого найдем какое-либо решение системы (4.13). Задав произвольно , (обычно для простоты берут ), из полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными находим . Найдя векторное произведение , имеем Прямая l также перпендикулярна векторам . Значит. вектор можно принять за направляющий вектор прямой l. Таким образом, мы получили:

т. е. искомые канонические уравнения прямой, соответствующие общим уравнениям (4.13) получены.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Рассмотрим прямые:

Угол между прямыми определяется углом между их направляющими векторами . Тогда:

(4.14)

знак модуля берем, чтобы из двух вертикальных углов взять острый угол. Если , откуда:

(4.15)

Равенство (4.15) определяет условие перпендикулярности прямых .

Если прямые параллельны, то ║ . Из условия колинеарности векторов получаем:

(4.16)

Равенства (4.16) определяют условия параллельности прямых .

Возможны три случая расположения прямых в пространстве:

1. Прямые пересекаются. Точки , координаты которых фигурируют в канонических уравнениях , определяют вектор

Т. к. две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, то векторы - компланарны. Из условия компланарности следует:

(4.17)

Равенство (4.17) определяет условие пересечения прямых.

2. параллельны. для параллельных прямых решим задачу о нахождении расстояния между ними. Найдем векторное произведение , модуль которого определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях: .

Высота параллелограмма равна - расстоянию между . Т. к.

Если вместо вектора взять вектор то получим такую же величину .

3. скрещиваются: . Построим на векторах параллелепипед. Его объем равен , а площадь основания .

Т. к. V=Qh, то , но за расстояние между скрещивающимися прямыми принимается расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые; поэтому . Таким образом|:

СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ.

Рассмотрим общие уравнения прямой:

(4.18)

Умножим второе уравнение на и сложим равенства

(4.19)

Если точка M(x,y,z) , то ее координата удовлетворяет обеим уравнениям системы (4.17), а, следовательно, и уравнению (4.18). Значит плоскость, заданная уравнением (4.18) при любом λ проходит через прямую l. Изменяя параметр λ получим бесконечное множество плоскостей, проходящих через прямую l. Это множество плоскостей называют связка плоскостей. Выбирая подходящим образом λ из пучка плоскостей можно выделить плоскость, удовлетворяющую определенным требованиям – например, чтобы она проходила через заданную точку точку ( и т. д.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Рассмотрим прямую l и плоскость R в пространстве:

l: l

R: Ax|+By+Cz+D =0

Взаимное расположение l и R определяется векторами =(m,n,p) и (A,B,C). Пусть требуется определить угол φ между прямой l и ее проекцией на плоскость R . Очевидно, что . Отсюда получим:

(4.20)

Если φ=0, то l║R. Значит

Am+Bn+Cp=0 (4.21)

Есть условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть тогда вектора и колинеарны. Поэтому

(4.22)

Из (4.21) видно, что условие параллельности прямой и плоскости имеет такую же форму, как условия перпендикулярности двух плоскостей или двух прямых. То же можно сказать и в отношении условия перпендикулярности прямой и плоскости (4.22).

Если l║R и какая-либо точка прямой принадлежит плоскости R, то прямая принадлежит плоскости:

(4.23)

Соотношение (4.23) определяет условие принадлежности прямой плоскости.

Пусть прямая l пересекает плоскость R в точке М. Эту точку называют точкой встречи прямой с плоскостью. Для нахождения ее координат надо решить систему уравнений прямой и плоскости.

Это система уравнений с тремя неизвестными. Специфика уравнений позволяет применить следующий метод ее решения. Введя параметр

перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

(4.24).

Подставив текущие координаты (x, y, z) в уравнение плоскости, получим:

Решив это уравнение относительно t, подставим решение в параметрическое уравнение прямой (4.24):

Точка М( и будет точкой встречи l и R.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Пусть изучаемые объекты – точки и прямые заданы в системе координат OXY. Т. к. уравнение координатной плоскости OXY определяется уравнением z=0, то из всех формул стереометрии можно получить формулы планиметрии, положив в полученных ранее формулах z=0. Например, формула площади треугольника с вершинами в системе координат OXYZ имеет вид:

(4.25)

Для получения величины площади ∆АВС с вершинами системе координат OXY достаточно в формуле (4.25) положить z=0. Получим:

(4.26)

В случае знак «минус» опускаем. Можно преобразовать формулу (4.26)

(первую строку поочередно прибавили ко второй и к третьей)

формула (4.26) приняла вид:

(4.27)

Сравнивая (4.25) и (4.27) видим, что формулы в различаются существенно. В ряде случаев существенных различий нет.

Сравним уравнения прямых, проходящих через две точки:

В имеем : ;

В имеем : .

Последнее уравнение перепишем в виде:

. Обозначив , получим - уравнение прямой, проходящей через точку ( ) с угловым коэффициентом k

O X

Как видно из чертежа, угловой коэффициент к=tgα, где α – угол наклона прямой к оси OX. Перепишем уравнение в виде y=kx+ . Пусть =b. Тогда y=kx+b.

Это уравнение прямой наиболее удобно для изучения взаимного расположения двух прямых на плоскости. Рассмотрим прямые :

Примем положительный угол φ при перемещении по дуге от против часовой стрелки. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с этим внешним, т. е. . Перейдя к тангенсам углов, получим:

Имеем:

(4.28)

Эта формула позволяет найти угол между , а также условие параллельности прямых:

(4.29)

и перпендикулярности прямых:

(4.30)

Уравнение Ax+By+C=0: по аналогии с общим уравнением плоскости называется общим уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой может быть записано в виде , т. к.