I. Линейные представления конечных групп

Date: 2015-10-07; view: 452.

Семестр, 2012

Программа курса Высшей алгебры и теории чисел

1. Характеры конечных абелевых групп, определение,

Образ характера, число характеров конечной абелевой группы

2. Групповая структура характеров, теорема об изоморфизме с исходной группой

2. *Теорема о продолжении характеров с подгруппы на группу со следствиями.

3. Соотношения между характерами

4. Общие понятия о линейных представлениях множеств, примеры, инвариантные подпространства, сумма и пересечение

5. Морфизм представлений, обратимый морфизм( изоморфизм), Теорема о матрицах изоморфных представлений множеств.

6. Подпредставления и фактор-представления, матрица в выбранных базисах.

7. Неприводимые представления, пример представления симметрической группы с доказательством неприводимости представления (n – 1) –го подпространства.

8. Связь линейного представления конечных групп и морфизма представления с модульной структурой. Изоморфизм представлений на языке модулей

9. Связь матриц изоморфных представлений конечных групп.

10. Описание представлений группы Z и , циклической группы и теорема о диагонализуемости представления конечной группы.

11. Регулярное представление, свойства

12. Унитарные представления, теорема о представлении конечной группы с эрмитовым скалярным произведением .

13. Подпредставления , связь с модульной структурой

14. Подпредставления, неприводимые и вполне приводимы представления. Теорема Машке со следствием о представимости представления конечной группы в прямую сумму неприводимых, изотипные представления.

15. Истоки леммы Шуры для матриц, с примером не алгебраически замкнутого поля и доказательством.

16. Лемма Шура, ( предварительная матричная форма)

17. Лемма Шура ( форма оператора )

18. Лемма Шура ( на языке простого модуля)

19. Характеры представлений, определение и теорема об основных свойствах .

20. Операция усреднения морфизма, основное утверждение, матричная форма усреднения морфизма

21. Теорема об усреднения морфизма для неизоморфных и изоморфных представлений

22. Скалярное произведение на множестве характеров, матричное выражение

23. Теорема об ортогональности характеров неизоморфных представлений

24. Скалярное произведение характеров изоморфных представлений.

25. Теорема об ортогональности системы характеров неприводимых представлений

26. Функции классов, центральные функции, алгебраическая структура множества центральных функций.

27. *Теорема об ортогональности центральной функции любому характеру неприводимого представления.

28. Теорема о базисе пространства центральных функций из ортогональных характеров

29. Определение категории, основные свойства, примеры

30. Линейные представления топологических групп, примеры