Пример решения задачи 4
Date: 2015-10-07; view: 383.
Найти общее решение системы.
а) 
, б) 
.
Решение.
а) С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведём матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.
 |
~ 
~
.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит, ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r = 4 – 2 = 2 параметров. Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть 
– базисный минор. Тогда x1 и х2 – базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, x3 и х4 – параметры. Обозначим для удобства x3 = С1, х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору: 
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет вид: 
или 
б) С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к трапециевидной форме:
Умножим первую строку поочередно на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвертой строкам.
Сложим вторую и третью строки. Умножим вторую строчку на (-1) и прибавим к последней.
.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Видим, что ранг основной матрицы равен 2 и ранг расширенной матрицы равен двум. Значит система совместна ( то есть имеет хотя бы одно решение) и ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r = 4 – 2 = 2 параметров.
Пусть 
– базисный минор (например, 
не является базисным). Тогда x1 и 
– базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, 
и х4 – параметры. Обозначим для удобства = С1, х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r =2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору: 
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет вид: 
или 
Ответ: а) ,
б) .
Задача 5. Написать разложение вектора 
по векторам 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Пример решения задачи 3 | | | Задача 6 |